Límites y Continuidad de una Función Numérica — 2.º Bachillerato CF / CVT
Curso interactivo en español sobre límites y continuidad: límites en un punto y en el infinito, formas indeterminadas, límite de una compuesta, comparación y acotación, continuidad, prolongación por continuidad, teorema de los valores intermedios, bisección, función inversa, raíces n-ésimas y potencias racionales.
Mohamed Lagzouli
Créateur de ce parcours interactif.
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Bienvenido a este curso
Este curso cubre el primer capítulo del programa de segundo de bachillerato, Ciencias Físicas y Ciencias de la Vida y de la Tierra. Está concebido para seguirse en orden: cada resultado de la Parte C se apoya en las Partes A y B.
Cómo trabajar este curso
- Lee una idea y trabaja su ejemplo antes de pasar a la siguiente.
- Busca cada respuesta antes de revelarla — ahí es donde se aprende.
- Vuelve al Curso esencial en cuanto un ejercicio se te resista.
Diagnóstico: ¿dónde estás?
Nueve preguntas sobre los conocimientos previos. Responde primero, revela después. Si tres o más respuestas se te escapan, repasa los límites de primero antes de empezar la Parte A.
1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)\).
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Es un polinomio: se sustituye directamente.
2. Sea \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\). Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\).
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Forma indeterminada \(\frac{0}{0}\). Factorizamos:
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1) \]Por tanto el límite vale \(2\).
3. ¿Cuánto vale \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}\)? ¿Y \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}\)?
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Los dos límites difieren: el límite en \(0\) no existe.
4. Indica el dominio de definición de \(g(x) = \sqrt{x - 3}\).
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Se necesita \(x - 3 \geqslant 0\), es decir, \(D_g = [3 ; +\infty[\).
5. ¿Puede una función estrictamente creciente en \([a;b]\) tomar dos veces el mismo valor?
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No. Si \(x_1 < x_2\) entonces \(f(x_1) < f(x_2)\): dos puntos distintos tienen imágenes distintas. Esta observación será el argumento de unicidad a lo largo del capítulo.
6. Traduce: «la curva de \(f\) puede trazarse sin levantar el lápiz en \([0;1]\)».
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\(f\) es continua en \([0;1]\). La imagen mental es correcta, pero no es una demostración: en segundo de bachillerato, la continuidad se establece por la definición o por los teoremas sobre operaciones.
Objetivo del capítulo. Pasar de «la curva parece continua» a «demuestro que \(f\) es continua, y de ahí concluyo».
Pregunta 7. Verdadero o falso: si \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -1\) y \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 1\), entonces \(f\) tiene límite en \(1\).
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Falso. Los dos límites existen pero son distintos.
El límite en un punto solo existe cuando los límites por la derecha y por la izquierda son iguales. Es el error más frecuente del capítulo.
Pregunta 8. ¿Cuánto vale \(\infty - \infty\)?
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No vale absolutamente nada. Es una forma indeterminada.
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1)-x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big(x^2-x\big) = +\infty \]Dos expresiones de la misma forma, dos resultados distintos: hay que transformar la escritura antes de concluir.
Pregunta 9. La función \(x \mapsto \sin x\) está acotada. ¿Tiene límite en \(+\infty\)?
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No. Estar acotada no basta para tener límite.
\(\sin(2k\pi) = 0\) y \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) = 1\): la función no se acerca a ningún valor único.
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Aquí tienes la idea central del capítulo y su aplicación más útil. El curso completo desarrolla cada punto con sus propios ejemplos.
Continuidad en un punto. Sea \(f\) definida en un intervalo \(I\) y sea \(a \in I\). Decimos que \(f\) es continua en \(a\) cuando
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]Se cumplen así tres condiciones a la vez: \(f(a)\) existe, el límite existe, y ambos coinciden. Si una de ellas falla, \(f\) no es continua en \(a\).
Ejemplo. Sea \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) para \(x \neq 2\) y \(f(2) = 4\). Estudiemos la continuidad en \(2\).
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2) \]Por tanto \(f\) es continua en \(2\).
Teorema de los valores intermedios. Si \(f\) es continua en \([a;b]\), entonces para todo número real \(k\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), la ecuación \(f(x) = k\) admite al menos una solución en \([a;b]\).
Tres preguntas para ponerte a prueba
1. Sea \(f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) para \(x \neq 3\) y \(f(3) = 5\). ¿Es \(f\) continua en \(3\)?
Ver la respuesta
No. \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = 6\) mientras que \(f(3) = 5\). El límite existe, el valor existe, pero son distintos.
2. \(f\) es continua en \([0;3]\), \(f(0) = -2\) y \(f(3) = 7\). ¿Qué puede afirmarse?
Ver la respuesta
Como \(0\) está comprendido entre \(-2\) y \(7\), la ecuación \(f(x) = 0\) admite al menos una solución en \([0;3]\). Sin hipótesis de monotonía, nada puede decirse sobre la unicidad.
3. ¿Por qué no puede aplicarse el TVI a \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) en \([-1;1]\)?
Ver la respuesta
\(f\) no está definida en \(0\), luego no es continua en \([-1;1]\). La hipótesis del teorema falla, y con ella se cae la conclusión. En efecto \(f(-1) = -1\) y \(f(1) = 1\), y sin embargo \(f\) nunca se anula.
Para recordar. El TVI da la existencia. La unicidad exige un argumento adicional: la monotonía estricta. Es el objeto del corolario, tratado en la Parte C.
Un límite que se calcula tras una transformación
¿Cuánto vale \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)?
El cálculo directo da \(\frac{0}{0}\): una forma indeterminada, que no es un resultado sino una señal.
Ver la respuesta
Factorizamos el numerador:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4 \]La función no está definida en \(2\), pero el límite allí es finito: puede prolongarse por continuidad poniendo \(f(2) = 4\).
El curso completo trata los límites y después la continuidad, con nueve ejemplos resueltos, doce ejercicios y dos exámenes corregidos.
Curso esencial
Parte A — Límites de una función numérica
L1. Las cuatro situaciones de límite
Límite finito en un punto
Sea \(f\) definida en un intervalo abierto que contiene \(a\), salvo quizá en \(a\). Decimos que \(f\) tiene \(\ell\) por límite en \(a\) cuando los valores \(f(x)\) se vuelven tan próximos a \(\ell\) como se quiera, siempre que \(x\) esté bastante cerca de \(a\).
Límite por la derecha y límite por la izquierda
El límite en \(a\) existe si y solo si estos dos límites existen y son iguales.
Es el error más frecuente del capítulo. Para \(f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}\), se tiene \(\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-1\) y \(\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1\): los dos límites existen, son distintos, luego \(f\) no tiene límite en \(1\).
Límite infinito en un punto
Decimos que \(f\) tiende a \(+\infty\) cuando \(x\) tiende a \(a\) si \(f(x)\) supera cualquier número fijado de antemano, por grande que sea, siempre que \(x\) esté bastante cerca de \(a\). Se escribe:
Cuidado con el vocabulario: se dice que el límite es infinito, pero la función no admite entonces ningún límite finito. El infinito no es un número.
Ejemplo 1 — un límite infinito, y el papel del signo
Estudia el comportamiento de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) y después de \(g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\) en \(0\).
Ver la resolución
Para \(g\), el denominador \(x^{2}\) es estrictamente positivo a ambos lados de \(0\):
Para \(f\), el denominador cambia de signo:
Los dos límites difieren: \(f\) no tiene límite en \(0\), mientras que \(g\) sí lo tiene. Todo depende del signo del denominador.
Límite en el infinito
Se estudia aquí el comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) se hace muy grande en valor absoluto.
Un límite finito \(\ell\) en \(+\infty\) significa que la curva se acerca indefinidamente a la recta horizontal \(y=\ell\) sin alcanzarla necesariamente.
Límites usuales
| Función (\(n\in\mathbb{N}^{*}\)) | En \(0^{+}\) | En \(+\infty\) | En \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^{n}\), \(n\) par | \(0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^{n}\), \(n\) impar | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\dfrac{1}{x^{n}}\) | \(+\infty\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(0\) | \(+\infty\) | no definida |
Dos límites trigonométricos que hay que saber:
L2. Reglas de cálculo
Suma de dos límites
Aquí \(\ell\) y \(\ell'\) designan límites finitos.
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f+g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell+\ell'\) |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | indeterminada |
Producto de dos límites
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f\times g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell\ell'\) |
| \(\ell>0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell<0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | regla de los signos |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | indeterminada |
Cociente de dos límites
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim \frac{f}{g}\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) |
| \(\ell\neq 0\) | \(0^{+}\) o \(0^{-}\) | \(\pm\infty\) según los signos |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\pm\infty\) según los signos |
| \(0\) | \(0\) | indeterminada |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | indeterminada |
Cuando el denominador tiende a \(0\), el signo por el que se anula decide el resultado. Por eso en este caso se estudian siempre los límites por la derecha y por la izquierda por separado.
Las cuatro formas indeterminadas:
Ninguna de estas escrituras vale \(0\), ni \(1\), ni \(\infty\). Solo señalan que el cálculo directo fracasa y que hay que transformar la expresión. Dos formas indeterminadas del mismo tipo pueden dar resultados distintos.
Resolver una forma indeterminada
- \(\frac{0}{0}\) polinómica: factorizar por \((x-a)\) en el numerador y en el denominador.
- \(\frac{\infty}{\infty}\) racional: sacar como factor común el término de mayor grado.
- \(\infty-\infty\) con raíces: multiplicar por la expresión conjugada.
- \(0\times\infty\): reducirlo a un cociente.
Ejemplo 2 — forma \(\frac{0}{0}\)
Ver la resolución
El numerador y el denominador se anulan en \(2\). Factorizamos:
Ejemplo 3 — forma \(\frac{\infty}{\infty}\)
Ver la pista
Sacar \(x^{2}\) como factor común arriba y abajo.
Ver la resolución
Cada término en \(\frac{1}{x}\) o \(\frac{1}{x^{2}}\) tiende a \(0\), de donde:
Ejemplo 4 — forma \(\infty-\infty\)
Ver la pista
Multiplicar y dividir por la expresión conjugada \(\sqrt{x^{2}+x}+x\).
Ver la resolución
Para \(x>0\), se saca \(x\) como factor común en el denominador:
L3. Límite de una función compuesta
Límite de una compuesta
Sean \(a\), \(b\) y \(c\) finitos o infinitos, y supongamos
Estas dos hipótesis no bastan cuando \(b\) es finito. Hay que añadir una de las dos condiciones siguientes.
Primer caso — \(b\) es infinito. Nada que añadir:
Segundo caso — \(b\) es finito y \(v\) es continua en \(b\). Entonces \(c=v(b)\) y la conclusión vale sin otra hipótesis.
Tercer caso — \(b\) es finito y no se supone \(v\) continua en \(b\). Hace falta entonces que \(u(x)\neq b\) en un entorno reducido de \(a\), es decir, para todo \(x\) próximo a \(a\) pero distinto de \(a\).
En la práctica se pone \(t=u(x)\): es un cambio de variable. Hay que comprobar además que \(u(x)\) pertenece al dominio de \(v\) cerca de \(a\), pero esa comprobación por sí sola no basta para justificar el paso al límite.
He aquí por qué la tercera condición es indispensable. Tomemos:
Se tiene en efecto \(\lim_{x\to 0}u(x)=0\) y \(\lim_{t\to 0}v(t)=1\). Sin embargo \((v\circ u)(x)=v(0)=5\) para todo \(x\), luego la compuesta tiende a \(5\), y no a \(1\).
La razón es que \(u\) toma exactamente el valor \(b=0\), justo donde \(v\) es discontinua. En el ejemplo 5 siguiente el problema no se plantea: \(v=\sqrt{\;}\) es continua en \(4\), estamos en el segundo caso.
Ejemplo 5 — cambio de variable
Ver la resolución
Pongamos \(t=\dfrac{4x^{2}+1}{x^{2}+3}\). Sacando \(x^{2}\) como factor común:
La función \(t\mapsto\sqrt{t}\) es continua en \(4\), con \(\sqrt{4}=2\): estamos en el segundo caso del teorema, no se exige ninguna hipótesis adicional. Luego:
L4. Límites y orden
Teorema de comparación
Sean \(f\) y \(g\) tales que \(f(x)\leqslant g(x)\) cerca de \(a\).
- Si \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\), entonces \(\lim_{x\to a} g(x)=+\infty\).
- Si \(\lim_{x\to a} g(x)=-\infty\), entonces \(\lim_{x\to a} f(x)=-\infty\).
Basta una cota inferior para empujar hacia \(+\infty\); basta una cota superior para empujar hacia \(-\infty\).
Teorema del emparedado
Sean \(f\), \(g\), \(h\) definidas cerca de \(a\), tales que \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) en ese entorno. Si \(g\) y \(h\) tienen el mismo límite finito \(\ell\) en \(a\), entonces \(f\) tiene \(\ell\) por límite en \(a\).
Ejemplo 6 — emparedado con el seno
Ver la pista
Partir de \(-1\leqslant \sin x\leqslant 1\) y dividir por \(x>0\).
Ver la resolución
Para todo \(x>0\):
Las dos cotas tienden a \(0\) en \(+\infty\), de donde:
Una función acotada no tiene necesariamente límite: \(x\mapsto \sin x\) está acotada y no admite ningún límite en \(+\infty\). El emparedado solo concluye si las dos cotas convergen al mismo valor.
Parte B — Continuidad
A1. Continuidad en un punto
Sea \(f\) una función definida en un intervalo \(I\) y sea \(a \in I\). \(f\) es continua en \(a\) si y solo si
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]En caso contrario, \(f\) es discontinua en \(a\).
La definición exige tres cosas: que \(a\) pertenezca al dominio, que el límite exista y sea finito, y que los dos valores sean iguales. Una discontinuidad puede provenir, pues, de tres causas distintas.
Ejemplo A1. Sea \(f(x) = 3x - 1\). En \(a = 2\):
\[ \lim_{x \to 2} (3x-1) = 5 \quad \text{y} \quad f(2) = 5 \]Luego \(f\) es continua en \(2\).
Ejemplo A1'. Sea \(g(x) = \dfrac{1}{x-1}\) para \(x \neq 1\) y \(g(1) = 0\). En \(a = 1\):
\[ \lim_{x \to 1^+} g(x) = +\infty \]El límite no es finito: \(g\) es discontinua en \(1\).
A2. Continuidad por la derecha, continuidad por la izquierda
\(f\) es continua por la derecha en \(a\) si
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \]\(f\) es continua por la izquierda en \(a\) si
\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]\(f\) es continua en \(a\) si y solo si es continua por la derecha y por la izquierda en \(a\):
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]Este criterio es la herramienta de referencia para las funciones definidas a trozos: cada lado del punto de empalme se estudia por separado.
Ejemplo A2. Sea
\[ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \leqslant 1 \\ 3 - x & \text{si } x > 1 \end{cases} \]Estudio en \(a = 1\):
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 - 1 = 2, \qquad f(1) = 2 \]Los tres valores coinciden: \(f\) es continua en \(1\).
A3. Continuidad en un intervalo
\(f\) es continua en un intervalo abierto \(]a;b[\) si es continua en todo punto de ese intervalo.
\(f\) es continua en \([a;b]\) si es continua en \(]a;b[\), continua por la derecha en \(a\) y continua por la izquierda en \(b\).
En los extremos de un intervalo cerrado, solo tiene sentido la continuidad por el lado interior — por eso la definición los trata por separado.
A4. Continuidad de las funciones usuales
Las funciones siguientes son continuas en todo intervalo contenido en su dominio:
- las funciones polinómicas, en \(\mathbb{R}\);
- las funciones racionales, en todo intervalo donde el denominador no se anula;
- \(x \mapsto \sqrt{x}\), en \([0;+\infty[\);
- \(x \mapsto \sin x\) y \(x \mapsto \cos x\), en \(\mathbb{R}\);
- \(x \mapsto \tan x\), en todo intervalo que no contenga \(\frac{\pi}{2} + k\pi\);
- \(x \mapsto |x|\), en \(\mathbb{R}\).
Consecuencia práctica. Casi nunca se vuelve a la definición. Se identifica la función como una de las usuales, o como construida a partir de ellas mediante las operaciones de A5.
A5. Operaciones sobre las funciones continuas
Sean \(f\) y \(g\) continuas en \(a\), y sea \(\lambda \in \mathbb{R}\). Entonces:
- \(f + g\) es continua en \(a\);
- \(\lambda f\) es continua en \(a\);
- \(f \times g\) es continua en \(a\);
- \(\dfrac{f}{g}\) es continua en \(a\) si \(g(a) \neq 0\);
- \(|f|\) es continua en \(a\);
- \(\sqrt{f}\) es continua en \(a\) si \(f(a) \geqslant 0\) y \(f \geqslant 0\) cerca de \(a\).
Ejemplo A5. Sea \(h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\). En \(]3;+\infty[\): numerador y denominador son polinomios, luego continuos; el denominador no se anula. Luego \(h\) es continua en \(]3;+\infty[\). El mismo argumento en \(]-\infty;3[\).
A6. Continuidad de la compuesta
Si \(u\) es continua en \(a\) y \(v\) continua en \(u(a)\), entonces \(v \circ u\) es continua en \(a\).
Si \(u\) es continua en \(I\), \(u(I) \subset J\) y \(v\) continua en \(J\), entonces \(v \circ u\) es continua en \(I\).
Ejemplo A6. Sea \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). Pongamos \(u(x) = x^2 + 1\) y \(v(t) = \sqrt{t}\). \(u\) es continua en \(\mathbb{R}\), y \(u(x) \geqslant 1 > 0\) luego \(u(\mathbb{R}) \subset [1;+\infty[\) donde \(v\) es continua. Por tanto \(f = v \circ u\) es continua en \(\mathbb{R}\).
A7. Imagen de un intervalo, imagen de un intervalo cerrado
Si \(f\) es continua en un intervalo \(I\), entonces \(f(I)\) es un intervalo.
Si \(f\) es continua en un intervalo cerrado \([a;b]\), entonces \(f([a;b])\) es un intervalo cerrado \([m;M]\), donde \(m\) es el mínimo y \(M\) el máximo de \(f\) en \([a;b]\). En particular, \(f\) está acotada y alcanza sus extremos.
Cuidado. \(f([a;b]) = [m;M]\) — y no \([f(a);f(b)]\). La igualdad \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) solo vale si \(f\) es continua y creciente en \([a;b]\).
Ejemplo A7. Sea \(f(x) = x^2\) en \([-1;2]\). \(f(-1) = 1\) y \(f(2) = 4\), pero \(f([-1;2]) = [0;4]\): el mínimo \(0\) se alcanza en \(x = 0\), dentro del intervalo. El intervalo \([1;4]\) sería una respuesta errónea.
Caso monótono. Si \(f\) es continua y estrictamente monótona en \(I\), la imagen se lee en los extremos:
- \(f\) creciente en \([a;b]\): \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\);
- \(f\) decreciente en \([a;b]\): \(f([a;b]) = [f(b);f(a)]\);
- \(f\) creciente en \([a;b[\): \(f([a;b[) = \left[f(a); \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\).
A8. Prolongación por continuidad
Sea \(f\) definida en \(I \setminus \{a\}\), donde \(I\) es un intervalo que contiene \(a\). La función \(f\) no está, pues, definida en \(a\), y la cuestión de su continuidad en ese punto no se plantea como tal.
Decimos que \(f\) es prolongable por continuidad en \(a\) cuando \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) existe y es finito. Llamando \(\ell\) a ese límite, ponemos entonces:
\[ \tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in I \setminus \{a\} \\ \ell & \text{si } x = a \end{cases} \]La función \(\tilde f\) así definida es continua en \(a\): es la prolongación por continuidad de \(f\).
Dos condiciones, y ninguna es facultativa.
- El límite debe existir: si los límites por la derecha y por la izquierda difieren, no es posible ninguna prolongación.
- Debe ser finito: un límite infinito prohíbe toda prolongación, puesto que no se puede poner \(\tilde f(a) = +\infty\).
Cuando ambas se cumplen, el valor \(\ell\) queda impuesto: la prolongación existe y es única. No se elige \(\tilde f(a)\).
Ejemplo. Sea \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\), definida en \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). ¿Es prolongable por continuidad en \(2\)?
Para \(x \neq 2\), factorizamos:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]El límite existe y es finito: \(f\) es prolongable por continuidad en \(2\), poniendo \(\tilde f(2) = 4\).
Contraejemplo. Para \(g(x) = \dfrac{1}{x-2}\), se tiene \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} g(x) = +\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = -\infty\). Ni la existencia ni la finitud se cumplen: \(g\) no es prolongable por continuidad en \(2\) de ninguna manera.
La noción enlaza con A1: prolongar es precisamente añadir el valor que falta para que las tres condiciones de la continuidad en un punto queden por fin reunidas.
Parte C — Teoremas fundamentales
B1. Teorema de los valores intermedios
TVI. Sea \(f\) continua en \([a;b]\). Para todo real \(k\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe al menos un \(c \in [a;b]\) tal que \(f(c) = k\).
Caso particular. Si \(f\) es continua en \([a;b]\) y \(f(a) \cdot f(b) < 0\), entonces la ecuación \(f(x) = 0\) admite al menos una solución en \(]a;b[\).
Ejemplo B1. Demostremos que \(x^3 + x - 1 = 0\) admite una solución en \([0;1]\). Pongamos \(f(x) = x^3 + x - 1\), continua en \(\mathbb{R}\) por ser polinómica.
\[ f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0 \]\(f\) es continua en \([0;1]\) y \(f(0) \cdot f(1) < 0\): por el TVI, existe \(c \in ]0;1[\) tal que \(f(c) = 0\).
Redacción esperada. Tres elementos obligatorios: la continuidad (con su justificación), el intervalo, y el signo o la acotación. Omitir la justificación de la continuidad cuesta puntos.
B2. Corolario: existencia y unicidad
Si \(f\) es continua y estrictamente monótona en \([a;b]\), entonces para todo \(k\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), la ecuación \(f(x) = k\) admite una solución única en \([a;b]\).
El TVI proporciona la existencia, la monotonía estricta proporciona la unicidad. Son dos argumentos distintos, que deben citarse por separado.
Ejemplo B2. Retomemos \(f(x) = x^3 + x - 1\) en \([0;1]\). \(f\) es derivable y \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\), luego \(f\) es estrictamente creciente en \([0;1]\). Junto con el ejemplo B1, la ecuación \(f(x) = 0\) admite una solución única \(\alpha \in ]0;1[\).
B3. Acotación por bisección
La bisección acota la solución \(\alpha\) dividiendo el intervalo por la mitad en cada etapa y conservando la mitad donde persiste el cambio de signo.
Ejemplo B3. Acotemos \(\alpha\), solución de \(x^3 + x - 1 = 0\) en \([0;1]\), con una amplitud de \(0{,}25\).
\[ f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0 \]Luego \(\alpha \in ]0{,}5 ; 1[\).
\[ f(0{,}75) = 0{,}421875 + 0{,}75 - 1 = 0{,}171875 > 0 \]Luego \(\alpha \in ]0{,}5 ; 0{,}75[\), de amplitud \(0{,}25\).
B4. Función inversa
Si \(f\) es continua y estrictamente monótona en un intervalo \(I\), entonces \(f\) es una biyección de \(I\) sobre \(J = f(I)\). Admite por tanto una función inversa \(f^{-1} : J \to I\), que es:
- continua en \(J\);
- estrictamente monótona en \(J\), en el mismo sentido que \(f\).
Para todo \(x \in I\) y todo \(y \in J\):
\[ f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \] \[ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]En un sistema de referencia ortonormal, las curvas de \(f\) y de \(f^{-1}\) son simétricas respecto de la recta de ecuación \(y = x\).
Ejemplo B4. Sea \(f(x) = x^2\) en \(I = [0;+\infty[\). \(f\) es continua y estrictamente creciente en \(I\), y \(f(I) = [0;+\infty[\). Luego \(f\) es una biyección de \([0;+\infty[\) sobre sí mismo, y
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y} \quad \text{para } y \geqslant 0 \]En todo \(\mathbb{R}\), \(f\) no es inyectiva (\(f(-2) = f(2)\)): la restricción a \([0;+\infty[\) es indispensable.
B5. Raíz \(n\)-ésima
Sea \(n \in \mathbb{N}^*\). La función \(x \mapsto x^n\) es continua y estrictamente creciente en \([0;+\infty[\), con imagen \([0;+\infty[\). Su inversa es la raíz \(n\)-ésima:
\[ \sqrt[n]{\;} : [0;+\infty[ \;\to\; [0;+\infty[ \]Para \(x \geqslant 0\), \(\sqrt[n]{x}\) es el único real no negativo cuya potencia \(n\)-ésima vale \(x\):
\[ y = \sqrt[n]{x} \iff y \geqslant 0 \text{ y } y^n = x \]Una nota sobre el marco elegido. Para \(n\) impar, existe una raíz \(n\)-ésima definida en todo \(\mathbb{R}\): por ejemplo \(-2\) cumple \((-2)^3 = -8\), y puede escribirse legítimamente \(\sqrt[3]{-8} = -2\) en ese marco más amplio.
En este curso consideramos la restricción a \([0;+\infty[\), sea cual sea \(n\). Es un convenio de presentación, no una imposibilidad: en ese intervalo, \(x \mapsto x^n\) es biyectiva para todo \(n\), y las propiedades anteriores valen todas a la vez, lo que deja de ocurrir si se mezclan exponentes pares e impares sobre \(\mathbb{R}\).
Para \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(n, m \in \mathbb{N}^*\):
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \;(b > 0) \] \[ \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]La función \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) es continua en \([0;+\infty[\).
Ejemplo B5. Simplifiquemos \(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}\):
\[ \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{216} = 6 \]Comprobación: \(2 \times 3 = 6\).
B6. Potencias racionales
Para \(a > 0\), \(p \in \mathbb{Z}\) y \(q \in \mathbb{N}^*\), ponemos
\[ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \]En particular \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\).
Para \(a > 0\), \(b > 0\) y \(r, s \in \mathbb{Q}\):
\[ a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs} \] \[ (ab)^r = a^r b^r, \qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r} \]Ejemplo B6. Calculemos \(8^{\frac{2}{3}}\):
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]O bien \(8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\) — ambos caminos dan el mismo resultado.
Resumen del capítulo
- Demostrar la continuidad: funciones usuales + operaciones + composición. La definición solo interviene en los puntos de empalme.
- Función a trozos: límite por la derecha = límite por la izquierda = valor.
- Imagen de un intervalo cerrado: \([m;M]\), no \([f(a);f(b)]\), salvo si es monótona.
- Existencia de una solución: TVI, con la continuidad justificada.
- Unicidad: monotonía estricta, un argumento aparte.
- Inversa: continua, estrictamente monótona en el mismo sentido, curvas simétricas respecto de \(y = x\).
Ejemplos resueltos
Nueve situaciones escritas paso a paso. Busca cada etapa antes de revelarla.
Ejemplo 1 — Continuidad de una función definida a trozos
Sea
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\ m & \text{si } x = 2 \end{cases} \]Determina \(m\) para que \(f\) sea continua en \(2\).
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Etapa 1 — Calcular el límite. Para \(x \neq 2\):
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]Etapa 2 — Aplicar la definición. Que \(f\) sea continua en \(2\) equivale a \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\), luego \(4 = m\).
Conclusión. \(m = 4\).
Ejemplo 2 — Continuidad en el punto de empalme
Sea
\[ g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } x \geqslant 1 \end{cases} \]Sabemos que \(g\) es continua en \(1\) y que \(g(3) = 8\). Determina \(a\) y \(b\).
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Etapa 1 — Continuidad en 1.
\[ \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} g(x) = a + b = g(1) \]La continuidad impone \(a + b = 2\).
Etapa 2 — Usar \(g(3) = 8\). Como \(3 \geqslant 1\):
\[ 3a + b = 8 \]Etapa 3 — Resolver. Restando: \(2a = 6\), luego \(a = 3\) y \(b = -1\).
Comprobación. \(a + b = 2\) ✓ y \(3(3) - 1 = 8\) ✓
Ejemplo 3 — Imagen de un intervalo
Sea \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) en \([0;3]\). Determina \(f([0;3])\).
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Etapa 1 — Continuidad. \(f\) es un polinomio, luego continua en \([0;3]\). Su imagen es un intervalo cerrado \([m;M]\).
Etapa 2 — Variaciones. \(f'(x) = 2x - 4\), nula en \(x = 2\), negativa en \([0;2[\), positiva en \(]2;3]\). Luego \(f\) decrece y después crece: el mínimo se alcanza en \(2\).
\[ f(2) = 4 - 8 + 1 = -3 \]Etapa 3 — Comparar los extremos.
\[ f(0) = 1, \qquad f(3) = 9 - 12 + 1 = -2 \]El máximo es \(\max(1; -2) = 1\).
Conclusión. \(f([0;3]) = [-3 ; 1]\).
Trampa evitada. Responder \([f(0);f(3)] = [-2;1]\) sería un error: \(f\) no es monótona en \([0;3]\), y el mínimo \(-3\) es interior.
Ejemplo 4 — Existencia y unicidad de una solución
Sea \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). Demuestra que la ecuación \(f(x) = 0\) admite una única solución \(\alpha\) en \(\mathbb{R}\), y localízala después entre dos enteros consecutivos.
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Etapa 1 — Continuidad. \(f\) es un polinomio, luego continua en \(\mathbb{R}\).
Etapa 2 — Monotonía estricta.
\[ f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0 \quad \text{para todo } x \]Luego \(f\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\).
Etapa 3 — Límites en los extremos.
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]Por tanto \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\), que contiene \(0\).
Etapa 4 — Concluir. \(f\) es continua y estrictamente creciente de \(\mathbb{R}\) sobre \(\mathbb{R}\): es una biyección. La ecuación \(f(x) = 0\) admite por ello una solución única \(\alpha\).
Etapa 5 — Localizar.
\[ f(1) = 1 + 3 - 5 = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 \]Luego \(1 < \alpha < 2\).
Ejemplo 5 — Función inversa explícita
Sea \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) definida en \(I = ]1;+\infty[\). Demuestra que \(f\) es una biyección de \(I\) sobre un intervalo \(J\) que has de determinar, y da \(f^{-1}\) de forma explícita.
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Etapa 1 — Continuidad. \(f\) es racional y su denominador no se anula en \(]1;+\infty[\): \(f\) es continua en \(I\).
Etapa 2 — Monotonía.
\[ f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \]Luego \(f\) es estrictamente decreciente en \(I\).
Etapa 3 — Imagen.
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]Que \(f\) sea decreciente y continua en \(]1;+\infty[\) da \(J = f(I) = ]2;+\infty[\).
Etapa 4 — Biyección. Continua y estrictamente monótona: \(f\) es una biyección de \(]1;+\infty[\) sobre \(]2;+\infty[\).
Etapa 5 — Explicitar. Resolvamos \(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\):
\[ y(x-1) = 2x+1 \;\Longrightarrow\; yx - y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; x(y-2) = y+1 \] \[ x = \frac{y+1}{y-2} \]Luego \(f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{y-2}\) para \(y \in ]2;+\infty[\).
Comprobación. \(f(3) = \frac{7}{2}\) y \(f^{-1}\!\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{9/2}{3/2} = 3\) ✓
Ejemplo 6 — Forma \(\frac{0}{0}\): factorizar
Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3}\).
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\(3\) anula los dos polinomios: es raíz de cada uno.
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Ejemplo 7 — Forma \(\frac{\infty}{\infty}\): mayor grado
Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 - x}{5x^3 + 4x^2}\).
Ver la resolución
El resultado es el mismo en \(-\infty\) y en \(+\infty\): para una fracción racional de grados iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales, sea cual sea el lado.
Ejemplo 8 — Forma \(\infty - \infty\): expresión conjugada
Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right)\).
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Multiplica y divide por \(\sqrt{x^2+3x}+x\).
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Para \(x > 0\), hemos sacado \(x\) como factor común en el denominador.
Ejemplo 9 — Composición: la condición que se olvida
Sabemos que \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b\) y \(\displaystyle\lim_{t \to b} v(t) = c\). ¿Puede concluirse que \(\displaystyle\lim_{x \to a}(v \circ u)(x) = c\)?
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Prueba con \(u\) constante igual a \(b\), y \(v\) discontinua en \(b\).
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En general, no. Tomemos \(a=b=0\), \(u(x)=0\) para todo \(x\), y
\[ v(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } t \neq 0 \\ 5 & \text{si } t = 0 \end{cases} \]Las dos hipótesis se cumplen, con \(c = 1\). Sin embargo \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) para todo \(x\).
Cuando \(b\) es finito, hay que añadir una de estas dos condiciones:
- que \(v\) sea continua en \(b\) — entonces \(c = v(b)\);
- o que \(u(x) \neq b\) en un entorno reducido de \(a\).
Cuando \(b\) es infinito, no se exige ninguna condición adicional.
Métodos utilizados
- Ejemplo 1 — Prolongación por continuidad: calcular el límite y después imponerlo como valor.
- Ejemplo 2 — Empalme: dos límites laterales y después uso de una condición adicional. Un sistema con dos incógnitas.
- Ejemplo 3 — Imagen de un intervalo cerrado: justificar la continuidad, hacer la tabla de variaciones, comparar todos los valores candidatos. Nunca conformarse con los extremos.
- Ejemplo 4 — Existencia + unicidad: TVI y después monotonía estricta, dos argumentos distintos. La acotación se obtiene calculando signos.
- Ejemplo 5 — Inversa: continuidad, monotonía, imagen, y después resolución algebraica de \(y = f(x)\) en \(x\).
Tres errores que no hay que repetir
- Escribir \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) sin haber establecido la monotonía.
- Concluir la unicidad a partir del TVI solamente.
- Olvidar justificar la continuidad antes de invocar el TVI — es la hipótesis del teorema.
Métodos utilizados — ejemplos 6 a 9
Ejemplo 6 — Forma \(\frac{0}{0}\): factorizar por \((x-a)\) en el numerador y en el denominador, y simplificar después para \(x \neq a\).
Ejemplo 7 — Forma \(\frac{\infty}{\infty}\): sacar como factor común el término de mayor grado arriba y abajo.
Ejemplo 8 — Forma \(\infty - \infty\) con una raíz: multiplicar por la expresión conjugada y sacar después \(x\) como factor común.
Ejemplo 9 — Composición: cuando \(b\) es finito, comprobar que \(v\) es continua en \(b\) o que \(u\) no toma el valor \(b\) cerca de \(a\).
Dos errores que no hay que repetir — parte de los límites
Escribir \(\infty-\infty = 0\) o \(\frac{\infty}{\infty} = 1\): estas escrituras no designan ningún número.
Justificar un cambio de variable solo porque \(u(x)\) pertenece al dominio de \(v\): la condición trata de la continuidad, o del entorno reducido.
Ejercicios interactivos
Cuatro niveles. Trabaja cada pregunta en papel antes de revelar la respuesta. Las pistas están para desbloquearte, no para sustituir la búsqueda.
Nivel 1 — Aplicación directa
Ejercicio 1. Estudia la continuidad en \(0\) de
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0, \; x > -1 \\ \dfrac{1}{2} & \text{si } x = 0 \end{cases} \]a) Simplifica la expresión de \(f(x)\) para \(x \neq 0\).
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Multiplica numerador y denominador por \(\sqrt{x+1}+1\).
Ver la respuesta
Multipliquemos por la cantidad conjugada:
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]La simplificación por \(x\) es lícita porque \(x \neq 0\).
b) Deduce \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
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La forma \(\frac{0}{0}\) inicial queda resuelta: la expresión simplificada es continua en \(0\).
c) Concluye sobre la continuidad de \(f\) en \(0\).
Ver la respuesta
Las tres condiciones se cumplen: \(f(0)\) existe, el límite existe, y ambos coinciden. Luego \(f\) es continua en \(0\).
Ejercicio 2. Sea \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}\).
a) Determina el dominio de definición de \(h\).
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La raíz impone \(x \geqslant 0\). El denominador \(x^2+1\) no se anula nunca, pues \(x^2+1 \geqslant 1\). Luego \(D_h = [0;+\infty[\).
b) Justifica la continuidad del numerador y la del denominador.
Ver la respuesta
\(x \mapsto \sqrt{x}\) es continua en \([0;+\infty[\). \(x \mapsto x^2+1\) es un polinomio, luego continua en \(\mathbb{R}\).
c) Concluye que \(h\) es continua en \([0;+\infty[\).
Ver la respuesta
El cociente de una función continua por una función continua que no se anula es continuo. Como \(x^2+1 \geqslant 1 > 0\) en \([0;+\infty[\), \(h\) es continua en \([0;+\infty[\).
Punto de método. La condición que hay que comprobar no es «el denominador es continuo», sino «el denominador no se anula».
Ejercicio 3. Cálculos de raíces y de potencias racionales.
a) Calcula \(\sqrt[4]{16}\).
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b) Calcula \(27^{\frac{1}{3}}\).
Ver la respuesta
c) Calcula \(32^{\frac{2}{5}}\).
Ver la respuesta
d) ¿Qué propiedad autoriza la escritura \(\left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = \sqrt[5]{32^2}\), y bajo qué condiciones?
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Válida para \(x \geqslant 0\) cuando \(m \in \mathbb{N}^{*}\), y para \(x > 0\) cuando \(m \leqslant 0\). El par \(x = 0\), \(m = 0\) queda excluido: conduciría a \(0^{0}\).
Aquí \(x = 32 > 0\) y \(m = 2\): las dos escrituras son equivalentes.
Ejercicio 9. Límites usuales y operaciones.
a) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}\).
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Saca \(x^2\) como factor común en el numerador y en el denominador.
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b) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}\) y después \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}\). ¿Qué puede decirse de \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)?
Ver la respuesta
Los dos límites existen pero son distintos: \(\frac{1}{x}\) no tiene límite en \(0\).
c) La misma pregunta para \(\dfrac{1}{x^2}\). Explica la diferencia.
Ver la respuesta
El denominador \(x^2\) es estrictamente positivo por ambos lados, mientras que \(x\) cambia de signo. Todo depende del signo del denominador.
d) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).
Ver la respuesta
Nos reducimos a \(\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1\) poniendo \(t = 3x\).
Nivel 2 — Razonamiento
Ejercicio 4. Sea \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).
a) Demuestra que \(f(x) = 0\) tiene una solución en \([0;1]\).
Ver la respuesta
\(f\) es un polinomio, luego continua en \([0;1]\). Además:
\[ f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \]\(f(0) \cdot f(1) < 0\): por el TVI, \(f\) se anula al menos una vez en \(]0;1[\).
b) ¿Es única esta solución en \(\mathbb{R}\)?
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No. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\) se anula en \(-1\) y en \(1\): \(f\) no es monótona en \(\mathbb{R}\).
\[ f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0, \qquad f(0) = 1 > 0, \qquad f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \]Tres cambios de signo: la ecuación tiene tres soluciones reales.
c) ¿Y la solución de \([0;1]\), es única en ese intervalo?
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¿Cuál es el signo de \(f'\) en \([0;1]\)?
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En \([0;1]\), \(f'(x) = 3(x-1)(x+1) \leqslant 0\), y solo se anula en \(1\): \(f\) es estrictamente decreciente en \([0;1]\).
La existencia viene del TVI, y la monotonía estricta permite garantizar la unicidad en ese intervalo. Ahí está toda la diferencia con la pregunta b): la unicidad depende del intervalo en que nos situemos.
d) Acota esta solución por bisección, con una amplitud de \(0{,}25\).
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Intervalo inicial \([a_0;b_0] = [0;1]\), de amplitud \(1\).
Etapa 1 — \(m = 0{,}5\), \(f(0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 + 1 = -0{,}375 \neq 0\), de signo contrario a \(f(0)\): el intervalo actual pasa a ser \([0;0{,}5]\).
Etapa 2 — \(m = 0{,}25\), \(f(0{,}25) \approx 0{,}266 \neq 0\), del mismo signo que \(f(0)\): el intervalo actual pasa a ser \([0{,}25;0{,}5]\).
Tras \(k = 2\) etapas, la amplitud vale en efecto:
\[ \frac{b_0 - a_0}{2^{k}} = \frac{1}{2^{2}} = 0{,}25 \]Si en alguna etapa \(f(m)\) hubiera sido exactamente nulo, el algoritmo se habría detenido: \(m\) habría sido la solución exacta.
Ejercicio 5. Sea \(f(x) = x^2 + 2x\) en \([-2;1]\).
a) Justifica que \(f([-2;1])\) es un intervalo cerrado.
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\(f\) es un polinomio, luego continua. La imagen de un intervalo cerrado por una función continua es un intervalo cerrado.
b) Estudia las variaciones de \(f\) en \([-2;1]\).
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\(f'(x) = 2x + 2\), nula en \(x = -1\), negativa antes, positiva después.
\(f\) decrece en \([-2;-1]\) y después crece en \([-1;1]\): no es monótona.
c) Deduce \(f([-2;1])\).
Ver la respuesta
Máximo \(= 3\). Luego \(f([-2;1]) = [-1;3]\).
Error que hay que evitar. Leer la imagen solo en los extremos daría \([0;3]\): es falso, pues \(f\) no es monótona en este intervalo.
Ejercicio 6. Determina \(a\) y \(b\) para que
\[ f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{si } x \leqslant 0 \\ \dfrac{\sin(bx)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]sea continua en \(0\), con \(b \neq 0\).
a) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x)\) y \(f(0)\).
Ver la respuesta
Para \(x \leqslant 0\), \(f(x) = ax + 2\), luego \(f(0) = 2\) y
\[ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 2 \]b) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)\) en función de \(b\).
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Haz aparecer \(\dfrac{\sin(bx)}{bx}\).
Ver la respuesta
c) Concluye sobre \(a\) y sobre \(b\).
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La continuidad impone la igualdad de los dos límites y de \(f(0)\), luego \(b = 2\).
El valor de \(a\) es cualquiera: no interviene en el límite por la izquierda, que vale \(a \times 0 + 2 = 2\) independientemente de \(a\).
Punto de método. Una condición de empalme no siempre determina todos los parámetros. Hay que comprobar cuáles intervienen realmente.
Ejercicio 10. Formas indeterminadas.
a) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\).
Ver la respuesta
Forma \(\frac{0}{0}\) resuelta por factorización.
b) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)\).
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Multiplica por la expresión conjugada \(\sqrt{x^2+x} + x\).
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Forma \(\infty - \infty\) resuelta por la cantidad conjugada.
c) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}\).
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Forma \(\frac{0}{0}\) reducida a un producto en el que un factor tiende a \(0\).
d) ¿Pueden dos formas \(\infty - \infty\) tener límites distintos? Da dos ejemplos.
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Sí, y ese es todo el sentido de la palabra «indeterminada».
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1) - x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big((x^2) - x\big) = +\infty \]Una forma indeterminada no es un resultado: es la señal de que la expresión debe transformarse.
Nivel 3 — Comparación y acotación
Ejercicio 11. Funciones acotadas, comparación y acotación.
a) Acota \(\sin x\) para todo real \(x\), y acota después \(\dfrac{\sin x}{x}\) para \(x > 0\).
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Dividiendo por \(x > 0\), lo que no invierte las desigualdades:
\[ -\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x} \]b) Deduce \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\).
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Las dos cotas \(-\frac{1}{x}\) y \(\frac{1}{x}\) tienden a \(0\) en \(+\infty\).
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]Es el teorema del emparedado: concluye porque las dos cotas convergen al mismo límite finito.
c) La función \(x \mapsto \sin x\) está acotada. ¿Tiene límite en \(+\infty\)? Justifica.
Ver la pista
Observa los valores tomados en \(x = 2k\pi\) y en \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), para \(k\) entero que tiende a infinito.
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No. Pongamos \(x_k = 2k\pi\) e \(y_k = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
\[ \sin(x_k) = 0 \quad \text{y} \quad \sin(y_k) = 1 \quad \text{para todo } k \]Las dos sucesiones tienden a \(+\infty\) pero los valores de \(\sin\) en ellas permanecen iguales a \(0\) y a \(1\) respectivamente. La función no puede, por tanto, acercarse a ningún valor único.
Para recordar. Estar acotada no basta para tener límite. Lo que hace converger \(\frac{\sin x}{x}\) no es que \(\sin\) esté acotada, es que \(\frac{1}{x}\) tiende a \(0\) y aplasta la oscilación.
d) Sea \(f\) tal que \(f(x) \geqslant x - \cos x\) para todo \(x > 0\). Determina \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
Ver la respuesta
Como \(\cos x \leqslant 1\), se tiene \(x - \cos x \geqslant x - 1\), luego
\[ f(x) \geqslant x - 1 \quad \text{para todo } x > 0 \]Y \(x - 1 \to +\infty\). Por el teorema de comparación:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]Diferencia con b). Aquí basta una sola cota inferior, porque empujamos hacia \(+\infty\). El emparedado exige dos cotas y un límite finito.
Nivel 4 — Profundización
Ejercicio 7. Sea \(f\) continua en \([0;1]\) con \(f(0) = 0\) y \(f(1) = 1\).
a) Se busca \(c\) tal que \(f(c) = 1 - c\). ¿Qué función auxiliar hay que introducir?
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Pongamos \(g(x) = f(x) - 1 + x\). La ecuación \(f(c) = 1-c\) equivale a \(g(c) = 0\), lo que reduce el problema a una anulación.
\(g\) es continua en \([0;1]\) por ser suma de funciones continuas.
b) Calcula \(g(0)\) y \(g(1)\).
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c) Concluye y extrae el método general.
Ver la respuesta
Por el TVI, existe \(c \in ]0;1[\) tal que \(g(c) = 0\), es decir \(f(c) = 1 - c\).
Método que hay que recordar. Para una ecuación de la forma \(f(x) = \varphi(x)\), se introduce \(g = f - \varphi\) y se aplica el TVI a \(g\).
Nótese que nada puede decirse de la unicidad: no se supone que \(f\) sea monótona.
Ejercicio 8. Sea \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) en \([0;1]\).
a) Demuestra que \(f\) es continua y estrictamente creciente en \([0;1]\).
Ver la respuesta
\(f\) es racional y \(x^2+1\) no se anula: \(f\) es continua en \([0;1]\).
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]En \([0;1[\), \(1 - x^2 > 0\) luego \(f' > 0\): \(f\) es estrictamente creciente en \([0;1]\).
b) Deduce que \(f\) es una biyección de \([0;1]\) sobre un intervalo \(J\) que has de determinar.
Ver la respuesta
Continua y estrictamente creciente en \([0;1]\), \(f\) es una biyección de \([0;1]\) sobre \(J = \left[0 ; \tfrac{1}{2}\right]\).
c) Determina \(f^{-1}(y)\) para \(y \in J\).
Ver la pista
Resuelve \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\) en \(x\): es una ecuación de segundo grado.
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Resolvamos \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\):
\[ yx^2 - x + y = 0 \]Para \(y \neq 0\), el discriminante es \(\Delta = 1 - 4y^2 \geqslant 0\) pues \(y \leqslant \tfrac{1}{2}\). Las raíces son
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4y^2}}{2y} \]Para \(0 < y < \tfrac{1}{2}\), se tiene \(\Delta = 1-4y^2 > 0\): las dos raíces son distintas. Su producto vale \(\dfrac{y}{y} = 1\), luego una está en \(]0;1[\) y la otra en \(]1;+\infty[\). Solo la rama con el signo \(-\) pertenece a \([0;1]\):
\[ f^{-1}(y) = \frac{1 - \sqrt{1-4y^2}}{2y} \qquad \left(0 < y < \tfrac{1}{2}\right) \]En los dos extremos, el razonamiento anterior no se aplica y cada caso debe tratarse por separado.
- \(y = 0\): la ecuación \(yx^2 - x + y = 0\) se convierte en \(-x = 0\). Deja de ser de segundo grado, y la fórmula anterior queda indefinida. La única solución es \(x = 0\), luego \(f^{-1}(0) = 0\).
- \(y = \tfrac{1}{2}\): entonces \(\Delta = 1 - 4 \times \tfrac14 = 0\). Los dos signos dan el mismo valor \(x = \dfrac{1}{2y} = 1\): ya no hay elección que hacer, la raíz es doble. Luego \(f^{-1}\!\left(\tfrac12\right) = 1\), lo que es coherente con \(f(1) = \tfrac12\).
Punto de rigor. Escribir «solo sirve la rama \(-\)» es exacto únicamente mientras \(\Delta > 0\). En \(y = \tfrac12\) las dos ramas coinciden, y en \(y = 0\) la ecuación cambia de naturaleza: los extremos de un intervalo merecen siempre un examen propio.
Ejercicio 12. Límite de una función compuesta.
a) Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}}\) y justifica el paso al límite.
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Pongamos \(t = \dfrac{4x^2+1}{x^2+3}\). Sacando \(x^2\) como factor común:
\[ \lim_{x \to +\infty} t = \frac{4}{1} = 4 \]La función \(t \mapsto \sqrt{t}\) es continua en \(4\), con \(\sqrt{4}=2\): el paso al límite es lícito sin hipótesis adicional.
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}} = 2 \]b) Sean \(u(x) = 0\) para todo \(x\), y \(v\) definida por \(v(t) = 1\) si \(t \neq 0\), \(v(0) = 5\). Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 0} u(x)\), \(\displaystyle\lim_{t \to 0} v(t)\), y después \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(v \circ u)(x)\).
Ver la respuesta
Pero \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) para todo \(x\), luego
\[ \lim_{x \to 0} (v \circ u)(x) = 5 \neq 1 \]c) ¿Qué hipótesis falta en la pregunta b), y por qué no la necesita la pregunta a)?
Ver la respuesta
Cuando \(b\) es finito, los dos límites no bastan. Hay que añadir, a elegir: que \(v\) sea continua en \(b\), o que \(u(x) \neq b\) en un entorno reducido de \(a\).
En b), \(u\) toma exactamente el valor \(b = 0\), precisamente donde \(v\) es discontinua: no se cumple ninguna de las dos condiciones.
En a), \(v = \sqrt{\;}\) es continua en \(b = 4\): la primera condición está satisfecha, no hay nada más que comprobar.
Punto de método. Comprobar que \(u(x)\) pertenece al dominio de \(v\) no basta para justificar un cambio de variable dentro de un límite.
Baremo orientativo y puntos de método
| Ejercicio | Método clave | Puntos |
|---|---|---|
| 1 | Cantidad conjugada, y después la definición de continuidad | 2 |
| 2 | Cociente de funciones continuas, denominador que no se anula | 2 |
| 3 | Raíces \(n\)-ésimas y potencias racionales | 2 |
| 4 | TVI; contraejemplo a la unicidad por el signo de \(f'\) | 3 |
| 5 | Imagen de un intervalo cerrado mediante la tabla de variaciones | 3 |
| 6 | Límites laterales; \(\lim \frac{\sin t}{t} = 1\) | 3 |
| 7 | Función auxiliar \(g = f - \varphi\), y después TVI | 2 |
| 8 | Biyección, imagen, inversión algebraica, elección de la raíz | 3 |
Refuerzo dirigido
- Ejercicios 1, 2 o 3 fallados → vuelve al Curso esencial, secciones A1 a A5, y después a los ejemplos 1 y 2.
- Ejercicio 4 o 5 fallado → repasa A7 y B1, y después el ejemplo 3. El error es casi siempre \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) aplicado sin monotonía.
- Ejercicio 6 fallado → repasa A2 y los límites trigonométricos de primero.
- Ejercicios 7 u 8 fallados → repasa B2 y B4, y después el ejemplo 5.
Respuestas breves
- 1. Continua en \(0\).
- 2. Continua en \([0;+\infty[\).
- 3. \(2\); \(3\); \(4\).
- 4. a) TVI en \([0;1]\). b) No, tres soluciones.
- 5. \([-1;3]\).
- 6. \(b = 2\), \(a\) cualquiera.
- 7. Poner \(g(x) = f(x) - 1 + x\).
- 8. \(J = \left[0;\tfrac12\right]\); \(f^{-1}(y) = \dfrac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2y}\).
Baremo orientativo y puntos de método — ejercicios 9 a 12
Ejercicio 9 — Límites usuales, signo del denominador, límite trigonométrico. 4 puntos.
Ejercicio 10 — Las cuatro formas indeterminadas y las técnicas que las resuelven. 4 puntos.
Ejercicio 11 — Acotación, comparación, y el contraejemplo de la función acotada sin límite. 4 puntos.
Ejercicio 12 — Composición: condición de continuidad o de entorno reducido. 3 puntos.
Refuerzo dirigido — parte de los límites
Si el ejercicio 9 b) o c) se resiste: repasa el signo del denominador cuando tiende a \(0\), y vuelve al ejemplo 1 del curso.
Si el ejercicio 10 se resiste: vuelve al método «Resolver una forma indeterminada» del curso, técnica por técnica, antes de rehacer los ejemplos 6 a 8.
Si el ejercicio 11 c) se resiste: recuerda que estar acotada no da límite alguno, y que el emparedado exige dos cotas que converjan al mismo valor finito.
Si el ejercicio 12 c) se resiste: rehaz el ejemplo 9, que trata exactamente este punto.
Respuestas breves — ejercicios 9 a 12
9 a) \(\frac{3}{2}\) — b) \(+\infty\) y \(-\infty\), sin límite — c) \(+\infty\) — d) \(3\).
10 a) \(4\) — b) \(\frac{1}{2}\) — c) \(0\) — d) \(1\) y \(+\infty\).
11 a) \(-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}\) — b) \(0\) — c) no — d) \(+\infty\).
12 a) \(2\) — b) \(0\), \(1\), después \(5\) — c) continuidad en \(b\), o entorno reducido.
Modo examen
Examen 1 — Continuidad
Prueba de \(1\) hora, \(20\) puntos. Sin documentos. Resuelve los tres ejercicios en el orden que prefieras, redactando por completo.
Ejercicio I — Continuidad y empalme (6 puntos)
Sea
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} & \text{si } x > 2 \\ ax + 1 & \text{si } x \leqslant 2 \end{cases} \]- 1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\). (2 puntos)
- 2. Determina \(a\) para que \(f\) sea continua en \(2\). (2 puntos)
- 3. Con ese valor de \(a\), justifica que \(f\) es continua en \(\mathbb{R}\). (2 puntos)
Ejercicio II — TVI y bisección (7 puntos)
Sea \(g(x) = x^3 + x^2 - 2\).
- 1. Justifica que \(g\) es continua en \(\mathbb{R}\). (1 punto)
- 2. Calcula \(g(0)\) y \(g(2)\), y demuestra que \(g(x) = 0\) tiene una solución en \([0;2]\). (2 puntos)
- 3. Estudia el signo de \(g'\) en \([0;2]\) y deduce la unicidad de esa solución \(\alpha\). (2 puntos)
- 4. Acota \(\alpha\) con una amplitud de \(0{,}5\) por bisección. (2 puntos)
Ejercicio III — Biyección e inversa (7 puntos)
Sea \(h(x) = \sqrt{2x + 3}\) en \(I = \left[-\tfrac{3}{2} ; +\infty\right[\).
- 1. Justifica que \(h\) es continua en \(I\). (2 puntos)
- 2. Estudia la monotonía de \(h\) en \(I\). (2 puntos)
- 3. Determina \(J = h(I)\). (1 punto)
- 4. Demuestra que \(h\) es una biyección de \(I\) sobre \(J\) y da \(h^{-1}\) de forma explícita. (2 puntos)
Consejo de gestión del tiempo. Unos \(15\) minutos para el Ejercicio I, \(20\) para el II, \(20\) para el III, y \(5\) minutos de repaso. En cada pregunta que invoque un teorema, comprueba que has escrito sus hipótesis.
Examen 2 — Límites y continuidad
Prueba de \(1\) hora, \(20\) puntos. Sin documentos. Resuelve los tres ejercicios en el orden que prefieras, redactando por completo.
Ejercicio I — Cálculo de límites (6 puntos)
1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}\). (2 puntos)
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+4x} - x\right)\). (2 puntos)
3. Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x}\). (2 puntos)
Ejercicio II — Acotación y comparación (7 puntos)
Sea \(f\) definida en \(]0;+\infty[\) por \(f(x) = \dfrac{2 + \cos x}{x}\).
1. Demuestra que \(\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{3}{x}\) para todo \(x > 0\). (3 puntos)
2. Deduce \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (2 puntos)
3. Sea \(g(x) = x + \sin x\). Demuestra que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). (2 puntos)
Ejercicio III — Prolongación por continuidad (7 puntos)
Sea \(h(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}\) definida en \(]1;+\infty[\).
1. Determina \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} h(x)\). (2 puntos)
2. ¿Puede \(h\) prolongarse por continuidad en \(1\)? Si es así, da su prolongación \(\tilde h\). (3 puntos)
3. Sea \(k(x) = \sqrt{h(x) + 3}\). Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} k(x)\), justificando el paso al límite. (2 puntos)
Modo examen — soluciones
Ejercicio I (6 puntos)
1. Para \(x > 2\), factoricemos el numerador. \(x^2 - x - 2\) tiene raíces \(2\) y \(-1\), luego
\[ \frac{x^2-x-2}{x-2} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1 \] \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \]2. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + 1 = f(2)\). La continuidad en \(2\) impone
\[ 2a + 1 = 3 \;\Longrightarrow\; a = 1 \]3. Con \(a = 1\): en \(]-\infty;2]\), \(f(x) = x+1\) es un polinomio, luego continua; en \(]2;+\infty[\), \(f(x) = x+1\) también. En \(2\), la continuidad quedó establecida en la pregunta 2. Luego \(f\) es continua en \(\mathbb{R}\) — y de hecho vale \(x+1\) en todas partes.
Ejercicio II (7 puntos)
1. \(g\) es un polinomio, luego continua en \(\mathbb{R}\).
2.
\[ g(0) = -2 < 0, \qquad g(2) = 8 + 4 - 2 = 10 > 0 \]\(g\) es continua en \([0;2]\) y \(g(0) \cdot g(2) < 0\): por el TVI, \(g\) se anula al menos una vez en \(]0;2[\).
3.
\[ g'(x) = 3x^2 + 2x = x(3x+2) \]En \(]0;2]\), \(x > 0\) y \(3x + 2 > 0\) luego \(g' > 0\): \(g\) es estrictamente creciente en \([0;2]\). La solución \(\alpha\) es por tanto única.
4. Bisección:
\[ g(1) = 1 + 1 - 2 = 0 \]La solución se alcanza exactamente: \(\alpha = 1\). La acotación pedida es por tanto inmediata, \(\alpha \in [1;1]\).
Observación. Un alumno que prosiga la bisección sin advertir que \(g(1) = 0\) no es penalizado si la acotación obtenida es correcta.
Ejercicio III (7 puntos)
1. Pongamos \(u(x) = 2x+3\), un polinomio luego continua en \(I\), y \(v(t) = \sqrt{t}\), continua en \([0;+\infty[\). Para \(x \geqslant -\tfrac{3}{2}\), \(u(x) \geqslant 0\), luego \(u(I) \subset [0;+\infty[\). Por composición, \(h = v \circ u\) es continua en \(I\).
2. \(u\) es estrictamente creciente y \(v\) es estrictamente creciente en \([0;+\infty[\): la compuesta \(h\) es estrictamente creciente en \(I\).
O por cálculo, en \(\left]-\tfrac32;+\infty\right[\):
\[ h'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0 \]3.
\[ h\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty \]Que \(h\) sea continua y estrictamente creciente en \(I\) da \(J = h(I) = [0;+\infty[\).
4. Continua y estrictamente monótona: \(h\) es una biyección de \(I\) sobre \(J\). Para \(y \geqslant 0\):
\[ y = \sqrt{2x+3} \;\Longrightarrow\; y^2 = 2x+3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{y^2-3}{2} \] \[ h^{-1}(y) = \frac{y^2 - 3}{2} \quad \text{para } y \in [0;+\infty[ \]Comprobación. \(h(3) = \sqrt{9} = 3\) y \(h^{-1}(3) = \frac{9-3}{2} = 3\) ✓
Cómo leer tu nota
- 16 a 20 — Capítulo dominado. Pasa al capítulo siguiente.
- 11 a 15 — Bases asentadas. Rehaz los ejercicios de nivel 3.
- 6 a 10 — Repasa la Parte C del Curso esencial, y después los ejemplos 4 y 5.
- 0 a 5 — Empieza el capítulo de nuevo desde la Parte B, y rehaz el diagnóstico de la Página de inicio.
Errores más frecuentes
- Ejercicio I.3: olvidar tratar las dos ramas y el punto de empalme.
- Ejercicio II.3: concluir la unicidad sin estudiar el signo de \(g'\).
- Ejercicio III.1: invocar la composición sin comprobar \(u(I) \subset [0;+\infty[\).
- Ejercicio III.4: dar \(h^{-1}\) sin indicar su dominio de definición.
Examen 2 — soluciones
Ejercicio I (6 puntos)
1. El número \(1\) anula los dos polinomios:
\[ \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1) \] \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{2}{-1} = -2 \]2. Expresión conjugada:
\[ \sqrt{x^2+4x} - x = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1} \longrightarrow 2 \]3. Hacer aparecer \(\dfrac{\sin t}{t}\):
\[ \frac{\sin(5x)}{2x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \longrightarrow \frac{5}{2} \]Ejercicio II (7 puntos)
1. Para todo real \(x\), \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\), luego \(1 \leqslant 2+\cos x \leqslant 3\). Dividiendo por \(x > 0\), lo que no invierte las desigualdades:
\[ \frac{1}{x} \leqslant \frac{2+\cos x}{x} \leqslant \frac{3}{x} \]2. Las dos cotas tienden a \(0\) en \(+\infty\). Por el teorema del emparedado:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \]3. Como \(\sin x \geqslant -1\), se tiene \(g(x) \geqslant x - 1\) para todo \(x\). Y \(x-1 \to +\infty\). Por comparación:
\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]Aquí basta una sola cota inferior, porque empujamos hacia \(+\infty\).
Ejercicio III (7 puntos)
1. El numerador \(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\) se anula también en \(1\). Tras simplificar, lo cual es lícito pues \(x \neq 1\):
\[ h(x) = x - 2 \qquad \text{luego} \qquad \lim_{x \to 1^{+}} h(x) = -1 \]El límite es finito: el denominador se anula, pero no hay divergencia alguna, al contrario de lo que la forma de la escritura hacía temer.
2. El límite existe y es finito: \(h\) puede prolongarse por continuidad en \(1\), y la prolongación es única:
\[ \tilde h(x) = \begin{cases} h(x) & \text{si } x > 1 \\ -1 & \text{si } x = 1 \end{cases} \]El valor \(-1\) no se elige: lo impone el límite.
3. Se tiene \(h(x) + 3 \to -1 + 3 = 2\) cuando \(x \to 1^{+}\). La función \(t \mapsto \sqrt{t}\) es continua en \(2\): el paso al límite en la compuesta es lícito sin hipótesis adicional.
\[ \lim_{x \to 1^{+}} k(x) = \sqrt{2} \]Cómo leer tu nota — Examen 2
16 a 20 — los límites están seguros, incluidos los casos con trampa.
11 a 15 — las técnicas se conocen, falta cuidar las justificaciones.
6 a 10 — repasa las formas indeterminadas y la acotación antes de seguir.
0 a 5 — vuelve a la Parte A del curso — los límites — y a los ejemplos 6 a 9.
Errores más frecuentes — Examen 2
Concluir que hay divergencia en cuanto el denominador se anula, sin comprobar si el numerador se anula también — Ejercicio III pregunta 1.
Dividir una acotación por \(x\) sin indicar que \(x > 0\): con \(x < 0\), las desigualdades se invertirían.
Usar el teorema del emparedado para concluir un límite infinito: el emparedado da un límite finito; para el infinito es la comparación, y basta una sola cota.