النهايات والاتصال لدالة عددية — الثانية باك علوم فيزيائية وعلوم الحياة والأرض
درس تفاعلي بالعربية حول النهايات والاتصال: النهاية في نقطة وفي اللانهاية، الأشكال غير المحددة، نهاية المركّبة، المقارنة والحصر، الاتصال، التمديد بالاتصال، مبرهنة القيم الوسيطية، التنصيف، الدالة العكسية، الجذور من الرتبة n والقوى الجذرية.
Mohamed Lagzouli
Créateur de ce parcours interactif.
الصفحة الرئيسية
مرحبا بك في هذا الدرس
يغطي هذا الدرس الفصل الأول من مقرر السنة الثانية بكالوريا، شعبة العلوم الفيزيائية وعلوم الحياة والأرض. وقد صُمّم ليُتابَع بالترتيب: كل نتيجة في الجزء ج تستند إلى الجزأين أ وب.
كيف تشتغل بهذا الدرس
- اقرأ فكرة واحدة، ثم اشتغل بمثالها قبل الانتقال إلى التالية.
- ابحث عن كل جواب قبل إظهاره — هناك يحصل التعلّم.
- عُد إلى الدرس الأساسي بمجرد أن يستعصي عليك تمرين.
تشخيص: أين أنت؟
تسعة أسئلة حول المكتسبات القبلية. أجب أولا، ثم أظهر الجواب. إذا استعصت عليك ثلاثة أجوبة أو أكثر، راجع النهايات المدروسة في السنة الأولى قبل البدء بالجزء أ.
١. احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)\).
إظهار الجواب
دالة حدودية: نعوّض مباشرة.
٢. لتكن \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\). احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\).
إظهار الجواب
شكل غير محدد \(\frac{0}{0}\). نحلّل إلى جداء عوامل:
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1) \]إذن النهاية تساوي \(2\).
٣. ما قيمة \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}\)؟ و\(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}\)؟
إظهار الجواب
النهايتان مختلفتان: النهاية في \(0\) غير موجودة.
٤. حدّد مجموعة تعريف \(g(x) = \sqrt{x - 3}\).
إظهار الجواب
يلزم أن يكون \(x - 3 \geqslant 0\)، أي \(D_g = [3 ; +\infty[\).
٥. هل يمكن لدالة تزايدية قطعا على \([a;b]\) أن تأخذ القيمة نفسها مرتين؟
إظهار الجواب
لا. إذا كان \(x_1 < x_2\) فإن \(f(x_1) < f(x_2)\): نقطتان مختلفتان لهما صورتان مختلفتان. ستكون هذه الملاحظة حجة الوحدانية طوال الفصل.
٦. ترجم العبارة: «يمكن رسم منحنى \(f\) دون رفع القلم على \([0;1]\)».
إظهار الجواب
\(f\) متصلة على \([0;1]\). الصورة الذهنية صحيحة، لكنها ليست برهانا: في السنة الثانية بكالوريا، يُثبَت الاتصال بالتعريف أو بمبرهنات العمليات.
هدف الفصل. الانتقال من «يبدو المنحنى متصلا» إلى «أبرهن أن \(f\) متصلة، ثم أستنتج من ذلك».
السؤال ٧. صواب أم خطأ: إذا كان \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -1\) و \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 1\)، فإن لـ\(f\) نهاية في \(1\).
إظهار الجواب
خطأ. النهايتان موجودتان لكنهما مختلفتان.
لا توجد نهاية في نقطة إلا إذا تساوت النهاية على اليمين والنهاية على اليسار. وهذا هو الخطأ الأكثر تكرارا في الفصل.
السؤال ٨. ما قيمة \(\infty - \infty\)؟
إظهار الجواب
لا قيمة لها إطلاقا. إنه شكل غير محدد.
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1)-x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big(x^2-x\big) = +\infty \]تعبيران من الشكل نفسه، ونتيجتان مختلفتان: يجب تحويل الكتابة قبل الاستنتاج.
السؤال ٩. الدالة \(x \mapsto \sin x\) محدودة. هل لها نهاية في \(+\infty\)؟
إظهار الجواب
لا. كون الدالة محدودة لا يكفي لوجود نهاية.
\(\sin(2k\pi) = 0\) و\(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) = 1\): الدالة لا تقترب من أي قيمة وحيدة.
المعاينة المجانية
إليك الفكرة المحورية في الفصل وأكثر تطبيقاتها نفعا. الدرس الكامل يفصّل كل نقطة بأمثلتها الخاصة.
الاتصال في نقطة. لتكن \(f\) معرّفة على مجال \(I\) وليكن \(a \in I\). نقول إن \(f\) متصلة في \(a\) إذا كان
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]تتحقق بذلك ثلاثة شروط في آن واحد: \(f(a)\) موجودة، والنهاية موجودة، وهما متساويتان. وإذا اختل أحدها، فإن \(f\) ليست متصلة في \(a\).
مثال. لتكن \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) من أجل \(x \neq 2\) و\(f(2) = 4\). ندرس الاتصال في \(2\).
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2) \]إذن \(f\) متصلة في \(2\).
مبرهنة القيم الوسيطية. إذا كانت \(f\) متصلة على \([a;b]\)، فإنه من أجل كل عدد حقيقي \(k\) محصور بين \(f(a)\) و\(f(b)\)، تقبل المعادلة \(f(x) = k\) حلا واحدا على الأقل في \([a;b]\).
ثلاثة أسئلة لاختبار نفسك
١. لتكن \(f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) من أجل \(x \neq 3\) و\(f(3) = 5\). هل \(f\) متصلة في \(3\)؟
إظهار الجواب
لا. \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = 6\) بينما \(f(3) = 5\). النهاية موجودة والقيمة موجودة، لكنهما مختلفتان.
٢. \(f\) متصلة على \([0;3]\)، و\(f(0) = -2\) و\(f(3) = 7\). ماذا يمكن تأكيده؟
إظهار الجواب
بما أن \(0\) محصور بين \(-2\) و\(7\)، فإن المعادلة \(f(x) = 0\) تقبل على الأقل حلا في \([0;3]\). ودون فرضية الرتابة، لا يمكن قول شيء عن الوحدانية.
٣. لماذا لا يمكن تطبيق مبرهنة القيم الوسيطية على \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) على \([-1;1]\)؟
إظهار الجواب
\(f\) غير معرّفة في \(0\)، إذن ليست متصلة على \([-1;1]\). فرضية المبرهنة مختلة، وتسقط النتيجة معها. وفعلا \(f(-1) = -1\) و\(f(1) = 1\)، ومع ذلك لا تنعدم \(f\) أبدا.
للتذكر. مبرهنة القيم الوسيطية تعطي الوجود. أما الوحدانية فتتطلب حجة إضافية: الرتابة القطعية. وهذا موضوع النتيجة المباشرة، المدروسة في الجزء ج.
نهاية تُحسب بعد تحويل
ما قيمة \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)؟
الحساب المباشر يعطي \(\frac{0}{0}\): شكل غير محدد، وهو ليس نتيجة بل إشارة.
إظهار الجواب
نحلّل البسط إلى جداء عوامل:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4 \]الدالة غير معرّفة في \(2\)، لكن النهاية هناك منتهية: يمكن تمديدها بالاتصال بوضع \(f(2) = 4\).
يتناول الدرس الكامل النهايات ثم الاتصال، مع تسعة أمثلة محلولة، واثني عشر تمرينا، وموضوعَي امتحان مصحّحين.
الدرس الأساسي
الجزء أ — نهايات دالة عددية
ن١. الحالات الأربع للنهاية
نهاية منتهية في نقطة
لتكن \(f\) معرّفة على مجال مفتوح يحتوي \(a\)، باستثناء \(a\) ربما. نقول إن \(f\) تقبل \(\ell\) نهاية في \(a\) إذا صارت القيم \(f(x)\) قريبة من \(\ell\) بالقدر الذي نشاء، كلما كان \(x\) قريبا كفاية من \(a\).
النهاية على اليمين والنهاية على اليسار
توجد النهاية في \(a\) إذا وفقط إذا وُجدت هاتان النهايتان وتساوتا.
هذا هو الخطأ الأكثر تكرارا في الفصل. من أجل \(f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}\)، لدينا \(\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-1\) و \(\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1\): النهايتان موجودتان ومختلفتان، إذن \(f\) لا تقبل نهاية في \(1\).
نهاية لانهائية في نقطة
نقول إن \(f\) تؤول إلى \(+\infty\) لما يؤول \(x\) إلى \(a\) إذا تجاوزت \(f(x)\) كل عدد محدّد سلفا، مهما كان كبيرا، كلما كان \(x\) قريبا كفاية من \(a\). ونكتب:
انتبه إلى المصطلح: نقول إن النهاية لانهائية، لكن الدالة لا تقبل عندئذ أي نهاية منتهية. فاللانهاية ليست عددا.
المثال ١ — نهاية لانهائية، ودور الإشارة
ادرس سلوك \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) ثم \(g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\) في \(0\).
إظهار الحل
بالنسبة لـ\(g\)، المقام \(x^{2}\) موجب قطعا من جهتَي \(0\):
أما بالنسبة لـ\(f\)، فالمقام يغيّر إشارته:
النهايتان مختلفتان: \(f\) لا تقبل نهاية في \(0\)، في حين تقبل \(g\) نهاية. كل شيء يتوقف على إشارة المقام.
النهاية في اللانهاية
ندرس هنا سلوك \(f(x)\) لما يصير \(x\) كبيرا جدا بالقيمة المطلقة.
وجود نهاية منتهية \(\ell\) في \(+\infty\) يعني أن المنحنى يقترب باستمرار من المستقيم الأفقي \(y=\ell\) دون أن يبلغه بالضرورة.
النهايات الاعتيادية
| الدالة (\(n\in\mathbb{N}^{*}\)) | في \(0^{+}\) | في \(+\infty\) | في \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^{n}\)، \(n\) زوجي | \(0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^{n}\)، \(n\) فردي | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\dfrac{1}{x^{n}}\) | \(+\infty\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(0\) | \(+\infty\) | غير معرّفة |
نهايتان مثلثيتان ينبغي حفظهما:
ن٢. قواعد الحساب
مجموع نهايتين
نرمز بـ\(\ell\) و\(\ell'\) إلى نهايتين منتهيتين.
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f+g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell+\ell'\) |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | غير محدد |
جداء نهايتين
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f\times g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell\ell'\) |
| \(\ell>0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell<0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | قاعدة الإشارات |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | غير محدد |
خارج نهايتين
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim \frac{f}{g}\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) |
| \(\ell\neq 0\) | \(0^{+}\) أو \(0^{-}\) | \(\pm\infty\) حسب الإشارات |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\pm\infty\) حسب الإشارات |
| \(0\) | \(0\) | غير محدد |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | غير محدد |
لما يؤول المقام إلى \(0\)، فإن الإشارة التي ينعدم بها هي التي تحسم النتيجة. ولهذا ندرس دائما، في هذه الحالة، النهاية على اليمين والنهاية على اليسار كلا على حدة.
الأشكال الأربعة غير المحددة:
لا تساوي أي من هذه الكتابات \(0\)، ولا \(1\)، ولا \(\infty\). إنها تدل فقط على أن الحساب المباشر أخفق وأنه يجب تحويل التعبير. وشكلان غير محددين من النوع نفسه قد يعطيان نتيجتين مختلفتين.
رفع شكل غير محدد
- \(\frac{0}{0}\) حدودي: التحليل بالعامل \((x-a)\) في البسط وفي المقام.
- \(\frac{\infty}{\infty}\) جذري: إخراج حدّ أكبر درجة كعامل مشترك.
- \(\infty-\infty\) مع جذور: الضرب في المرافق.
- \(0\times\infty\): الرجوع إلى خارج.
المثال ٢ — الشكل \(\frac{0}{0}\)
إظهار الحل
البسط والمقام ينعدمان في \(2\). نحلّل إلى عوامل:
المثال ٣ — الشكل \(\frac{\infty}{\infty}\)
إظهار الإرشاد
أخرج \(x^{2}\) كعامل مشترك في الأعلى وفي الأسفل.
إظهار الحل
كل حدّ من الشكل \(\frac{1}{x}\) أو \(\frac{1}{x^{2}}\) يؤول إلى \(0\)، ومنه:
المثال ٤ — الشكل \(\infty-\infty\)
إظهار الإرشاد
اضرب واقسم على المرافق \(\sqrt{x^{2}+x}+x\).
إظهار الحل
من أجل \(x>0\)، نخرج \(x\) كعامل مشترك في المقام:
ن٣. نهاية دالة مركّبة
نهاية المركّبة
ليكن \(a\) و\(b\) و\(c\) منتهية أو لانهائية، ولنفترض
هاتان الفرضيتان لا تكفيان لما يكون \(b\) منتهيا. يجب إضافة أحد الشرطين التاليين.
الحالة الأولى — \(b\) لانهائي. لا شيء يُضاف:
الحالة الثانية — \(b\) منتهٍ و\(v\) متصلة في \(b\). عندئذ \(c=v(b)\) وتصحّ النتيجة دون فرضية أخرى.
الحالة الثالثة — \(b\) منتهٍ و\(v\) غير مفترَضة متصلة في \(b\). يلزم عندئذ أن يكون \(u(x)\neq b\) على جوار مثقوب لـ\(a\)، أي من أجل كل \(x\) قريب من \(a\) ومخالف لـ\(a\).
عمليا، نضع \(t=u(x)\): وهذا تغيير للمتغير. ويجب كذلك التحقق من أن \(u(x)\) ينتمي إلى مجموعة تعريف \(v\) بجوار \(a\)، لكن هذا التحقق وحده لا يكفي لتبرير المرور إلى النهاية.
وإليك لماذا يكون الشرط الثالث لا غنى عنه. لنأخذ:
لدينا فعلا \(\lim_{x\to 0}u(x)=0\) و\(\lim_{t\to 0}v(t)=1\). ومع ذلك \((v\circ u)(x)=v(0)=5\) من أجل كل \(x\)، إذن المركّبة تؤول إلى \(5\)، لا إلى \(1\).
والسبب أن \(u\) تأخذ بالضبط القيمة \(b=0\)، وهي النقطة التي تكون فيها \(v\) غير متصلة. وفي المثال ٥ أسفله لا يُطرح هذا الإشكال: \(v=\sqrt{\;}\) متصلة في \(4\)، فنحن في الحالة الثانية.
المثال ٥ — تغيير المتغير
إظهار الحل
لنضع \(t=\dfrac{4x^{2}+1}{x^{2}+3}\). بإخراج \(x^{2}\) كعامل مشترك:
الدالة \(t\mapsto\sqrt{t}\) متصلة في \(4\)، مع \(\sqrt{4}=2\): فنحن في الحالة الثانية من المبرهنة، ولا يُطلب أي شرط إضافي. إذن:
ن٤. النهايات والترتيب
مبرهنة المقارنة
لتكن \(f\) و\(g\) بحيث \(f(x)\leqslant g(x)\) بجوار \(a\).
- إذا كان \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\)، فإن \(\lim_{x\to a} g(x)=+\infty\).
- وإذا كان \(\lim_{x\to a} g(x)=-\infty\)، فإن \(\lim_{x\to a} f(x)=-\infty\).
يكفي تصغير واحد للدفع نحو \(+\infty\)؛ ويكفي تكبير واحد للدفع نحو \(-\infty\).
مبرهنة الحصر
لتكن \(f\) و\(g\) و\(h\) معرّفة بجوار \(a\)، بحيث \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) على هذا الجوار. إذا كان لـ\(g\) و\(h\) النهاية المنتهية نفسها \(\ell\) في \(a\)، فإن \(f\) تقبل \(\ell\) نهاية في \(a\).
المثال ٦ — الحصر بالجيب
إظهار الإرشاد
انطلق من \(-1\leqslant \sin x\leqslant 1\) واقسم على \(x>0\).
إظهار الحل
من أجل كل \(x>0\):
الحدّان يؤولان إلى \(0\) في \(+\infty\)، ومنه:
الدالة المحدودة لا تقبل نهاية بالضرورة: \(x\mapsto \sin x\) محدودة ولا تقبل أي نهاية في \(+\infty\). والحصر لا يسمح بالاستنتاج إلا إذا آل الحدّان إلى القيمة نفسها.
الجزء ب — اتصال دالة عددية
أ١. الاتصال في نقطة
لتكن \(f\) دالة معرّفة على مجال \(I\) وليكن \(a \in I\). تكون \(f\) متصلة في \(a\) إذا وفقط إذا كان
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]وإلا فإن \(f\) غير متصلة في \(a\).
يقتضي التعريف ثلاثة أمور: أن ينتمي \(a\) إلى مجموعة التعريف، وأن توجد النهاية وتكون منتهية، وأن تتساوى القيمتان. وعليه فإن عدم الاتصال قد ينشأ عن ثلاثة أسباب متمايزة.
المثال أ١. لتكن \(f(x) = 3x - 1\). في \(a = 2\):
\[ \lim_{x \to 2} (3x-1) = 5 \quad \text{و} \quad f(2) = 5 \]إذن \(f\) متصلة في \(2\).
المثال أ١'. لتكن \(g(x) = \dfrac{1}{x-1}\) من أجل \(x \neq 1\) و\(g(1) = 0\). في \(a = 1\):
\[ \lim_{x \to 1^+} g(x) = +\infty \]النهاية غير منتهية: إذن \(g\) غير متصلة في \(1\).
أ٢. الاتصال على اليمين والاتصال على اليسار
تكون \(f\) متصلة على اليمين في \(a\) إذا كان
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \]وتكون \(f\) متصلة على اليسار في \(a\) إذا كان
\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]تكون \(f\) متصلة في \(a\) إذا وفقط إذا كانت متصلة على اليمين وعلى اليسار في \(a\):
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]هذا المعيار هو الأداة المرجعية في حالة الدوال المعرّفة بفروع: تُدرس كل جهة من نقطة الالتقاء على حدة.
المثال أ٢. لتكن
\[ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{إذا كان } x \leqslant 1 \\ 3 - x & \text{إذا كان } x > 1 \end{cases} \]الدراسة في \(a = 1\):
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 - 1 = 2, \qquad f(1) = 2 \]القيم الثلاث متساوية: إذن \(f\) متصلة في \(1\).
أ٣. الاتصال على مجال
تكون \(f\) متصلة على مجال مفتوح \(]a;b[\) إذا كانت متصلة في كل نقطة من هذا المجال.
وتكون \(f\) متصلة على \([a;b]\) إذا كانت متصلة على \(]a;b[\)، ومتصلة على اليمين في \(a\)، ومتصلة على اليسار في \(b\).
عند طرفَي مجال مغلق، لا معنى إلا للاتصال من الجهة الداخلية — ولهذا يفردهما التعريف بمعالجة خاصة.
أ٤. اتصال الدوال الاعتيادية
الدوال التالية متصلة على كل مجال متضمَّن في مجموعة تعريفها:
- الدوال الحدودية، على \(\mathbb{R}\)؛
- الدوال الجذرية، على كل مجال لا ينعدم فيه المقام؛
- \(x \mapsto \sqrt{x}\)، على \([0;+\infty[\)؛
- \(x \mapsto \sin x\) و\(x \mapsto \cos x\)، على \(\mathbb{R}\)؛
- \(x \mapsto \tan x\)، على كل مجال لا يحتوي \(\frac{\pi}{2} + k\pi\)؛
- \(x \mapsto |x|\)، على \(\mathbb{R}\).
نتيجة عملية. لا نكاد نعود إلى التعريف أبدا. بل نتعرّف على الدالة بوصفها اعتيادية، أو مبنية انطلاقا منها بواسطة عمليات الفقرة أ٥.
أ٥. العمليات على الدوال المتصلة
لتكن \(f\) و\(g\) متصلتين في \(a\)، وليكن \(\lambda \in \mathbb{R}\). عندئذ:
- \(f + g\) متصلة في \(a\)؛
- \(\lambda f\) متصلة في \(a\)؛
- \(f \times g\) متصلة في \(a\)؛
- \(\dfrac{f}{g}\) متصلة في \(a\) إذا كان \(g(a) \neq 0\)؛
- \(|f|\) متصلة في \(a\)؛
- \(\sqrt{f}\) متصلة في \(a\) إذا كان \(f(a) \geqslant 0\) و\(f \geqslant 0\) بجوار \(a\).
المثال أ٥. لتكن \(h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\). على \(]3;+\infty[\): البسط والمقام حدوديتان، إذن متصلتان؛ والمقام لا ينعدم. إذن \(h\) متصلة على \(]3;+\infty[\). والحجة نفسها على \(]-\infty;3[\).
أ٦. اتصال المركّبة
إذا كانت \(u\) متصلة في \(a\) و\(v\) متصلة في \(u(a)\)، فإن \(v \circ u\) متصلة في \(a\).
وإذا كانت \(u\) متصلة على \(I\)، و\(u(I) \subset J\)، و\(v\) متصلة على \(J\)، فإن \(v \circ u\) متصلة على \(I\).
المثال أ٦. لتكن \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). لنضع \(u(x) = x^2 + 1\) و\(v(t) = \sqrt{t}\). \(u\) متصلة على \(\mathbb{R}\)، و\(u(x) \geqslant 1 > 0\) إذن \(u(\mathbb{R}) \subset [1;+\infty[\) حيث \(v\) متصلة. ومن ثمّ فإن \(f = v \circ u\) متصلة على \(\mathbb{R}\).
أ٧. صورة مجال، وصورة مجال مغلق
إذا كانت \(f\) متصلة على مجال \(I\)، فإن \(f(I)\) مجال.
وإذا كانت \(f\) متصلة على مجال مغلق \([a;b]\)، فإن \(f([a;b])\) مجال مغلق \([m;M]\)، حيث \(m\) القيمة الدنيا و\(M\) القيمة القصوى لـ\(f\) على \([a;b]\). وبوجه خاص، تكون \(f\) محدودة وتبلغ حدّيها.
انتبه. \(f([a;b]) = [m;M]\) — وليس \([f(a);f(b)]\). والمساواة \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) لا تصحّ إلا إذا كانت \(f\) متصلة وتزايدية على \([a;b]\).
المثال أ٧. لتكن \(f(x) = x^2\) على \([-1;2]\). \(f(-1) = 1\) و\(f(2) = 4\)، لكن \(f([-1;2]) = [0;4]\): القيمة الدنيا \(0\) تُبلَغ في \(x = 0\)، داخل المجال. والمجال \([1;4]\) جواب خاطئ.
الحالة الرتيبة. إذا كانت \(f\) متصلة ورتيبة قطعا على \(I\)، تُقرأ الصورة عند الطرفين:
- \(f\) تزايدية على \([a;b]\): \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\)؛
- \(f\) تناقصية على \([a;b]\): \(f([a;b]) = [f(b);f(a)]\)؛
- \(f\) تزايدية على \([a;b[\): \(f([a;b[) = \left[f(a); \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\).
أ٨. التمديد بالاتصال
لتكن \(f\) معرّفة على \(I \setminus \{a\}\)، حيث \(I\) مجال يحتوي \(a\). إذن \(f\) غير معرّفة في \(a\)، ومسألة اتصالها في هذه النقطة لا تُطرح بهذه الصيغة.
نقول إن \(f\) قابلة للتمديد بالاتصال في \(a\) إذا كانت \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) موجودة ومنتهية. وبترميز هذه النهاية بـ\(\ell\)، نضع عندئذ:
\[ \tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{إذا كان } x \in I \setminus \{a\} \\ \ell & \text{إذا كان } x = a \end{cases} \]الدالة \(\tilde f\) المعرّفة هكذا متصلة في \(a\): وهي تمديد \(f\) بالاتصال.
شرطان، ولا واحد منهما اختياري.
- يجب أن توجد النهاية: فإذا اختلفت النهاية على اليمين عن النهاية على اليسار، فلا تمديد ممكن.
- ويجب أن تكون منتهية: فالنهاية اللانهائية تمنع كل تمديد، إذ لا يمكن وضع \(\tilde f(a) = +\infty\).
وعندما يتحقق الشرطان، تكون القيمة \(\ell\) مفروضة: فالتمديد موجود ووحيد. ولا نختار \(\tilde f(a)\).
مثال. لتكن \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\)، معرّفة على \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). هل هي قابلة للتمديد بالاتصال في \(2\)؟
من أجل \(x \neq 2\)، نحلّل إلى عوامل:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]النهاية موجودة ومنتهية: إذن \(f\) قابلة للتمديد بالاتصال في \(2\)، بوضع \(\tilde f(2) = 4\).
مثال مضاد. من أجل \(g(x) = \dfrac{1}{x-2}\)، لدينا \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} g(x) = +\infty\) و \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = -\infty\). فلا الوجود ولا كون النهاية منتهية متحققان: إذن \(g\) غير قابلة للتمديد بالاتصال في \(2\) بأي وجه.
يتصل هذا المفهوم بالفقرة أ١: فالتمديد هو بالضبط إضافة القيمة الناقصة حتى تجتمع أخيرا الشروط الثلاثة للاتصال في نقطة.
الجزء ج — المبرهنات الأساسية
ب١. مبرهنة القيم الوسيطية
م.ق.و. لتكن \(f\) متصلة على \([a;b]\). من أجل كل عدد حقيقي \(k\) محصور بين \(f(a)\) و\(f(b)\)، يوجد على الأقل \(c \in [a;b]\) بحيث \(f(c) = k\).
حالة خاصة. إذا كانت \(f\) متصلة على \([a;b]\) و \(f(a) \cdot f(b) < 0\)، فإن المعادلة \(f(x) = 0\) تقبل على الأقل حلا في \(]a;b[\).
المثال ب١. لنبيّن أن \(x^3 + x - 1 = 0\) تقبل حلا في \([0;1]\). نضع \(f(x) = x^3 + x - 1\)، وهي متصلة على \(\mathbb{R}\) لكونها حدودية.
\[ f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0 \]\(f\) متصلة على \([0;1]\) و\(f(0) \cdot f(1) < 0\): إذن، حسب م.ق.و.، يوجد \(c \in ]0;1[\) بحيث \(f(c) = 0\).
التحرير المنتظَر. ثلاثة عناصر إجبارية: الاتصال (مع تبريره)، والمجال، والإشارة أو الحصر. وإغفال تبرير الاتصال يكلّف نقطا.
ب٢. نتيجة: الوجود والوحدانية
إذا كانت \(f\) متصلة ورتيبة قطعا على \([a;b]\)، فإنه من أجل كل \(k\) محصور بين \(f(a)\) و\(f(b)\)، تقبل المعادلة \(f(x) = k\) حلا وحيدا في \([a;b]\).
م.ق.و. تعطي الوجود، والرتابة القطعية تعطي الوحدانية. وهما حجّتان متمايزتان، تُذكران كلٌ على حدة.
المثال ب٢. لنعد إلى \(f(x) = x^3 + x - 1\) على \([0;1]\). \(f\) قابلة للاشتقاق و\(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\)، إذن \(f\) تزايدية قطعا على \([0;1]\). وبضمّ ذلك إلى المثال ب١، تقبل المعادلة \(f(x) = 0\) حلا وحيدا \(\alpha \in ]0;1[\).
ب٣. الحصر بطريقة التنصيف
تحصر طريقة التنصيف الحل \(\alpha\) بتنصيف المجال في كل خطوة والاحتفاظ بالنصف الذي يستمر فيه تغيّر الإشارة.
المثال ب٣. لنحصر \(\alpha\)، حلّ \(x^3 + x - 1 = 0\) في \([0;1]\)، بسعة \(0{,}25\).
\[ f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0 \]إذن \(\alpha \in ]0{,}5 ; 1[\).
\[ f(0{,}75) = 0{,}421875 + 0{,}75 - 1 = 0{,}171875 > 0 \]إذن \(\alpha \in ]0{,}5 ; 0{,}75[\)، وسعته \(0{,}25\).
ب٤. الدالة العكسية
إذا كانت \(f\) متصلة ورتيبة قطعا على مجال \(I\)، فإن \(f\) تقابل من \(I\) نحو \(J = f(I)\). وتقبل عندئذ دالة عكسية \(f^{-1} : J \to I\)، وهي:
- متصلة على \(J\)؛
- رتيبة قطعا على \(J\)، بالمنحى نفسه كـ\(f\).
من أجل كل \(x \in I\) وكل \(y \in J\):
\[ f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \] \[ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]وفي معلم متعامد ممنظم، يكون منحنيا \(f\) و\(f^{-1}\) متماثلين بالنسبة للمستقيم ذي المعادلة \(y = x\).
المثال ب٤. لتكن \(f(x) = x^2\) على \(I = [0;+\infty[\). \(f\) متصلة وتزايدية قطعا على \(I\)، و \(f(I) = [0;+\infty[\). إذن \(f\) تقابل من \([0;+\infty[\) نحو نفسه، و
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y} \quad \text{لكل } y \geqslant 0 \]وعلى \(\mathbb{R}\) كله، \(f\) ليست تباينية (\(f(-2) = f(2)\)): فالحصر على \([0;+\infty[\) لا غنى عنه.
ب٥. الجذر من الرتبة \(n\)
ليكن \(n \in \mathbb{N}^*\). الدالة \(x \mapsto x^n\) متصلة وتزايدية قطعا على \([0;+\infty[\)، وصورتها \([0;+\infty[\). وعكسها هو الجذر من الرتبة \(n\):
\[ \sqrt[n]{\;} : [0;+\infty[ \;\to\; [0;+\infty[ \]من أجل \(x \geqslant 0\)، يكون \(\sqrt[n]{x}\) هو العدد الموجب الوحيد الذي قوته من الرتبة \(n\) تساوي \(x\):
\[ y = \sqrt[n]{x} \iff y \geqslant 0 \text{ و } y^n = x \]ملاحظة حول الإطار المعتمد. من أجل \(n\) فردي، يوجد جذر من الرتبة \(n\) معرّف على \(\mathbb{R}\) كله: فمثلا \(-2\) يحقق \((-2)^3 = -8\)، ويمكن بحق كتابة \(\sqrt[3]{-8} = -2\) في هذا الإطار الأوسع.
وفي هذا الدرس نعتمد الحصر على \([0;+\infty[\)، مهما كان \(n\). وهو اصطلاح في العرض، لا استحالة: فعلى هذا المجال، تكون \(x \mapsto x^n\) تقابلية من أجل كل \(n\)، وتصحّ الخاصيات أعلاه كلها في آن واحد، وهو ما يختلّ إذا خلطنا بين الأسس الزوجية والفردية على \(\mathbb{R}\).
من أجل \(a \geqslant 0\)، و\(b \geqslant 0\)، و\(n, m \in \mathbb{N}^*\):
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \;(b > 0) \] \[ \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]والدالة \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) متصلة على \([0;+\infty[\).
المثال ب٥. لنبسّط \(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}\):
\[ \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{216} = 6 \]التحقق: \(2 \times 3 = 6\).
ب٦. القوى الجذرية
من أجل \(a > 0\)، و\(p \in \mathbb{Z}\)، و\(q \in \mathbb{N}^*\)، نضع
\[ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \]وبوجه خاص \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\).
من أجل \(a > 0\)، و\(b > 0\)، و\(r, s \in \mathbb{Q}\):
\[ a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs} \] \[ (ab)^r = a^r b^r, \qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r} \]المثال ب٦. لنحسب \(8^{\frac{2}{3}}\):
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]أو \(8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\) — والطريقان يعطيان النتيجة نفسها.
خلاصة الفصل
- إثبات الاتصال: الدوال الاعتيادية + العمليات + التركيب. ولا يتدخل التعريف إلا عند نقط الالتقاء.
- دالة بفروع: النهاية على اليمين = النهاية على اليسار = القيمة.
- صورة مجال مغلق: \([m;M]\)، لا \([f(a);f(b)]\)، إلا إذا كانت رتيبة.
- وجود حل: م.ق.و.، مع تبرير الاتصال.
- الوحدانية: الرتابة القطعية، حجة مستقلة.
- الدالة العكسية: متصلة، رتيبة قطعا بالمنحى نفسه، ومنحنياها متماثلان بالنسبة لـ\(y = x\).
الأمثلة المحلولة
تسع وضعيات محرّرة خطوة بخطوة. ابحث عن كل خطوة قبل إظهارها.
المثال ١ — اتصال دالة معرّفة بفروع
لتكن
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{إذا كان } x \neq 2 \\ m & \text{إذا كان } x = 2 \end{cases} \]حدّد \(m\) حتى تكون \(f\) متصلة في \(2\).
إظهار الجواب
الخطوة ١ — حساب النهاية. من أجل \(x \neq 2\):
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]الخطوة ٢ — تطبيق التعريف. كون \(f\) متصلة في \(2\) يكافئ \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\)، أي \(4 = m\).
الخلاصة. \(m = 4\).
المثال ٢ — الاتصال عند نقطة التقاء الفروع
لتكن
\[ g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{إذا كان } x < 1 \\ ax + b & \text{إذا كان } x \geqslant 1 \end{cases} \]نعلم أن \(g\) متصلة في \(1\) وأن \(g(3) = 8\). حدّد \(a\) و\(b\).
إظهار الجواب
الخطوة ١ — الاتصال في ١.
\[ \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} g(x) = a + b = g(1) \]الاتصال يفرض \(a + b = 2\).
الخطوة ٢ — استعمال \(g(3) = 8\). بما أن \(3 \geqslant 1\):
\[ 3a + b = 8 \]الخطوة ٣ — الحل. بالطرح: \(2a = 6\)، إذن \(a = 3\) و\(b = -1\).
التحقق. \(a + b = 2\) ✓ و\(3(3) - 1 = 8\) ✓
المثال ٣ — صورة مجال
لتكن \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) على \([0;3]\). حدّد \(f([0;3])\).
إظهار الجواب
الخطوة ١ — الاتصال. \(f\) دالة حدودية، إذن متصلة على \([0;3]\). وصورتها مجال مغلق \([m;M]\).
الخطوة ٢ — التغيرات. \(f'(x) = 2x - 4\)، تنعدم في \(x = 2\)، سالبة على \([0;2[\)، وموجبة على \(]2;3]\). إذن \(f\) تناقصية ثم تزايدية: وتبلغ قيمتها الدنيا في \(2\).
\[ f(2) = 4 - 8 + 1 = -3 \]الخطوة ٣ — مقارنة الطرفين.
\[ f(0) = 1, \qquad f(3) = 9 - 12 + 1 = -2 \]القيمة القصوى هي \(\max(1; -2) = 1\).
الخلاصة. \(f([0;3]) = [-3 ; 1]\).
فخّ تمّ تفاديه. الجواب \([f(0);f(3)] = [-2;1]\) خاطئ: \(f\) ليست رتيبة على \([0;3]\)، والقيمة الدنيا \(-3\) داخلية.
المثال ٤ — وجود حل ووحدانيته
لتكن \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). بيّن أن المعادلة \(f(x) = 0\) تقبل حلا وحيدا \(\alpha\) في \(\mathbb{R}\)، ثم احصره بين عددين صحيحين متتاليين.
إظهار الجواب
الخطوة ١ — الاتصال. \(f\) دالة حدودية، إذن متصلة على \(\mathbb{R}\).
الخطوة ٢ — الرتابة القطعية.
\[ f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0 \quad \text{لكل } x \]إذن \(f\) تزايدية قطعا على \(\mathbb{R}\).
الخطوة ٣ — النهايات عند الطرفين.
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]إذن \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\)، وهو يحتوي \(0\).
الخطوة ٤ — الاستنتاج. \(f\) متصلة وتزايدية قطعا من \(\mathbb{R}\) نحو \(\mathbb{R}\): إذن هي تقابل. ومن ثمّ تقبل المعادلة \(f(x) = 0\) حلا وحيدا \(\alpha\).
الخطوة ٥ — الحصر.
\[ f(1) = 1 + 3 - 5 = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 \]إذن \(1 < \alpha < 2\).
المثال ٥ — الدالة العكسية بصيغة صريحة
لتكن \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) معرّفة على \(I = ]1;+\infty[\). بيّن أن \(f\) تقابل من \(I\) نحو مجال \(J\) يُطلب تحديده، ثم أعط \(f^{-1}\) بصيغة صريحة.
إظهار الجواب
الخطوة ١ — الاتصال. \(f\) دالة جذرية ومقامها لا ينعدم على \(]1;+\infty[\): إذن \(f\) متصلة على \(I\).
الخطوة ٢ — الرتابة.
\[ f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \]إذن \(f\) تناقصية قطعا على \(I\).
الخطوة ٣ — الصورة.
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]كون \(f\) تناقصية ومتصلة على \(]1;+\infty[\) يعطي \(J = f(I) = ]2;+\infty[\).
الخطوة ٤ — التقابل. متصلة ورتيبة قطعا: إذن \(f\) تقابل من \(]1;+\infty[\) نحو \(]2;+\infty[\).
الخطوة ٥ — الصيغة الصريحة. نحلّ \(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\):
\[ y(x-1) = 2x+1 \;\Longrightarrow\; yx - y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; x(y-2) = y+1 \] \[ x = \frac{y+1}{y-2} \]إذن \(f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{y-2}\) من أجل \(y \in ]2;+\infty[\).
التحقق. \(f(3) = \frac{7}{2}\) و \(f^{-1}\!\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{9/2}{3/2} = 3\) ✓
المثال ٦ — الشكل \(\frac{0}{0}\): التحليل إلى عوامل
احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3}\).
إظهار الإرشاد
العدد \(3\) يُعدم الحدوديتين معا: فهو جذر لكل منهما.
إظهار الحل
المثال ٧ — الشكل \(\frac{\infty}{\infty}\): أكبر درجة
احسب \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 - x}{5x^3 + 4x^2}\).
إظهار الحل
النتيجة نفسها في \(-\infty\) وفي \(+\infty\): بالنسبة لدالة جذرية درجتا حدّيها متساويتان، تكون النهاية خارج معاملَي أكبر درجة، مهما كان الطرف.
المثال ٨ — الشكل \(\infty - \infty\): المرافق
احسب \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right)\).
إظهار الإرشاد
اضرب واقسم على المرافق \(\sqrt{x^2+3x}+x\).
إظهار الحل
من أجل \(x > 0\)، أخرجنا \(x\) كعامل مشترك في المقام.
المثال ٩ — المركّبة: الشرط الذي يُنسى
نعلم أن \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b\) و \(\displaystyle\lim_{t \to b} v(t) = c\). هل يمكن استنتاج أن \(\displaystyle\lim_{x \to a}(v \circ u)(x) = c\)؟
إظهار الإرشاد
جرّب مع \(u\) ثابتة تساوي \(b\)، و\(v\) غير متصلة في \(b\).
إظهار الحل
لا، ليس في الحالة العامة. لنأخذ \(a=b=0\)، و\(u(x)=0\) من أجل كل \(x\)، و
\[ v(t) = \begin{cases} 1 & \text{إذا كان } t \neq 0 \\ 5 & \text{إذا كان } t = 0 \end{cases} \]الفرضيتان متحققتان، مع \(c = 1\). ومع ذلك \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) من أجل كل \(x\).
عندما يكون \(b\) منتهيا، يجب إضافة أحد الشرطين التاليين:
- أن تكون \(v\) متصلة في \(b\) — وعندئذ \(c = v(b)\)؛
- أو أن يكون \(u(x) \neq b\) على جوار مثقوب لـ\(a\).
وعندما يكون \(b\) لانهائيا، لا يُطلب أي شرط إضافي.
الطرق المستعملة
- المثال ١ — التمديد بالاتصال: نحسب النهاية، ثم نفرضها كقيمة.
- المثال ٢ — الالتقاء: نهايتان جانبيتان، ثم استعمال شرط إضافي. نظمة بمجهولين.
- المثال ٣ — صورة مجال مغلق: نبرّر الاتصال، ننجز جدول التغيرات، ونقارن كل القيم المرشّحة. لا نكتفي أبدا بالطرفين.
- المثال ٤ — الوجود + الوحدانية: مبرهنة القيم الوسيطية ثم الرتابة القطعية، حجّتان متمايزتان. والحصر يُنال بحساب الإشارات.
- المثال ٥ — الدالة العكسية: الاتصال، الرتابة، الصورة، ثم الحل الجبري لـ\(y = f(x)\) بدلالة \(x\).
ثلاثة أخطاء لا تُعاد
- كتابة \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) دون إثبات الرتابة.
- استنتاج الوحدانية من مبرهنة القيم الوسيطية وحدها.
- إغفال تبرير الاتصال قبل استعمال مبرهنة القيم الوسيطية — فهو فرضية المبرهنة.
الطرق المستعملة — الأمثلة ٦ إلى ٩
المثال ٦ — الشكل \(\frac{0}{0}\): التحليل بالعامل \((x-a)\) في البسط وفي المقام، ثم التبسيط من أجل \(x \neq a\).
المثال ٧ — الشكل \(\frac{\infty}{\infty}\): إخراج حدّ أكبر درجة كعامل مشترك في الأعلى وفي الأسفل.
المثال ٨ — الشكل \(\infty - \infty\) مع جذر: الضرب في المرافق، ثم إخراج \(x\) كعامل مشترك.
المثال ٩ — المركّبة: عندما يكون \(b\) منتهيا، نتحقق أن \(v\) متصلة في \(b\) أو أن \(u\) لا تأخذ القيمة \(b\) بجوار \(a\).
خطآن لا يُعادان — جزء النهايات
كتابة \(\infty-\infty = 0\) أو \(\frac{\infty}{\infty} = 1\): هاتان الكتابتان لا تدلان على أي عدد.
تبرير تغيير المتغير لمجرد أن \(u(x)\) ينتمي إلى مجموعة تعريف \(v\): الشرط يتعلق بالاتصال، أو بالجوار المثقوب.
التمارين التفاعلية
أربعة مستويات. اشتغل بكل سؤال على الورق قبل إظهار الجواب. الإرشادات موجودة لتحرّرك من التعثر، لا لتعوّض البحث.
المستوى ١ — تطبيق مباشر
التمرين ١. ادرس الاتصال في \(0\) للدالة
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} & \text{إذا كان } x \neq 0, \; x > -1 \\ \dfrac{1}{2} & \text{إذا كان } x = 0 \end{cases} \]أ) بسّط عبارة \(f(x)\) من أجل \(x \neq 0\).
إظهار الإرشاد
اضرب البسط والمقام في \(\sqrt{x+1}+1\).
إظهار الجواب
نضرب في المقدار المرافق:
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]والتبسيط بـ\(x\) مشروع لأن \(x \neq 0\).
ب) استنتج \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
إظهار الجواب
الشكل \(\frac{0}{0}\) الأولي مرفوع: فالعبارة المبسّطة متصلة في \(0\).
ج) استنتج اتصال \(f\) في \(0\).
إظهار الجواب
الشروط الثلاثة متحققة: \(f(0)\) موجودة، والنهاية موجودة، وهما متساويتان. إذن \(f\) متصلة في \(0\).
التمرين ٢. لتكن \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}\).
أ) حدّد مجموعة تعريف \(h\).
إظهار الجواب
الجذر يفرض \(x \geqslant 0\). والمقام \(x^2+1\) لا ينعدم أبدا لأن \(x^2+1 \geqslant 1\). إذن \(D_h = [0;+\infty[\).
ب) برّر اتصال البسط واتصال المقام.
إظهار الجواب
\(x \mapsto \sqrt{x}\) متصلة على \([0;+\infty[\). و\(x \mapsto x^2+1\) دالة حدودية، إذن متصلة على \(\mathbb{R}\).
ج) استنتج أن \(h\) متصلة على \([0;+\infty[\).
إظهار الجواب
خارج دالة متصلة على دالة متصلة لا تنعدم هو دالة متصلة. وبما أن \(x^2+1 \geqslant 1 > 0\) على \([0;+\infty[\)، فإن \(h\) متصلة على \([0;+\infty[\).
نقطة منهجية. الشرط الواجب التحقق منه ليس «المقام متصل»، بل «المقام لا ينعدم».
التمرين ٣. حسابات على الجذور والقوى الجذرية.
أ) احسب \(\sqrt[4]{16}\).
إظهار الجواب
ب) احسب \(27^{\frac{1}{3}}\).
إظهار الجواب
ج) احسب \(32^{\frac{2}{5}}\).
إظهار الجواب
د) ما الخاصية التي تسمح بالكتابة \(\left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = \sqrt[5]{32^2}\)، وبأي شروط؟
إظهار الجواب
صالحة من أجل \(x \geqslant 0\) لما يكون \(m \in \mathbb{N}^{*}\)، ومن أجل \(x > 0\) لما يكون \(m \leqslant 0\). والزوج \(x = 0\)، \(m = 0\) مستثنى: لأنه يؤدي إلى \(0^{0}\).
وهنا \(x = 32 > 0\) و\(m = 2\): إذن الكتابتان متكافئتان.
التمرين ٩. النهايات الاعتيادية والعمليات.
أ) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}\).
إظهار الإرشاد
أخرج \(x^2\) كعامل مشترك في البسط وفي المقام.
إظهار الجواب
ب) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}\) ثم \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}\). ماذا يمكن قوله عن \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)؟
إظهار الجواب
النهايتان موجودتان لكنهما مختلفتان: إذن \(\frac{1}{x}\) لا تقبل نهاية في \(0\).
ج) السؤال نفسه من أجل \(\dfrac{1}{x^2}\). فسّر الفرق.
إظهار الجواب
المقام \(x^2\) موجب قطعا من الجهتين، في حين أن \(x\) يغيّر إشارته. وكل شيء يتوقف على إشارة المقام.
د) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).
إظهار الجواب
نرجع إلى \(\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1\) بوضع \(t = 3x\).
المستوى ٢ — الاستدلال
التمرين ٤. لتكن \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).
أ) بيّن أن \(f(x) = 0\) تقبل حلا في \([0;1]\).
إظهار الجواب
\(f\) دالة حدودية، إذن متصلة على \([0;1]\). وعلاوة على ذلك:
\[ f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \]\(f(0) \cdot f(1) < 0\): إذن، حسب م.ق.و.، تنعدم \(f\) مرة واحدة على الأقل في \(]0;1[\).
ب) هل هذا الحل وحيد في \(\mathbb{R}\)؟
إظهار الجواب
لا. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\) تنعدم في \(-1\) وفي \(1\): إذن \(f\) ليست رتيبة على \(\mathbb{R}\).
\[ f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0, \qquad f(0) = 1 > 0, \qquad f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \]ثلاثة تغيّرات في الإشارة: إذن تقبل المعادلة ثلاثة حلول حقيقية.
ج) وهل حلّ \([0;1]\) وحيد في هذا المجال؟
إظهار الإرشاد
ما إشارة \(f'\) على \([0;1]\)؟
إظهار الجواب
على \([0;1]\)، \(f'(x) = 3(x-1)(x+1) \leqslant 0\)، ولا تنعدم إلا في \(1\): إذن \(f\) تناقصية قطعا على \([0;1]\).
الوجود يأتي من م.ق.و.، والرتابة القطعية تضمن الوحدانية على هذا المجال. وهذا هو كل الفرق مع السؤال ب): فالوحدانية تتوقف على المجال الذي نضع أنفسنا فيه.
د) احصر هذا الحل بطريقة التنصيف، بسعة \(0{,}25\).
إظهار الجواب
المجال الأولي \([a_0;b_0] = [0;1]\)، وسعته \(1\).
الخطوة ١ — \(m = 0{,}5\)، و\(f(0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 + 1 = -0{,}375 \neq 0\)، وإشارته مخالفة لإشارة \(f(0)\): إذن يصير المجال الجاري \([0;0{,}5]\).
الخطوة ٢ — \(m = 0{,}25\)، و\(f(0{,}25) \approx 0{,}266 \neq 0\)، وإشارته هي إشارة \(f(0)\): إذن يصير المجال الجاري \([0{,}25;0{,}5]\).
وبعد \(k = 2\) خطوتين، تساوي السعة فعلا:
\[ \frac{b_0 - a_0}{2^{k}} = \frac{1}{2^{2}} = 0{,}25 \]ولو كان \(f(m)\) منعدما تماما في إحدى الخطوات، لتوقفت الخوارزمية: ولكان \(m\) هو الحل المضبوط.
التمرين ٥. لتكن \(f(x) = x^2 + 2x\) على \([-2;1]\).
أ) برّر أن \(f([-2;1])\) مجال مغلق.
إظهار الجواب
\(f\) دالة حدودية، إذن متصلة. وصورة مجال مغلق بدالة متصلة هي مجال مغلق.
ب) ادرس تغيرات \(f\) على \([-2;1]\).
إظهار الجواب
\(f'(x) = 2x + 2\)، تنعدم في \(x = -1\)، سالبة قبلها وموجبة بعدها.
إذن \(f\) تناقصية على \([-2;-1]\) ثم تزايدية على \([-1;1]\): فهي ليست رتيبة.
ج) استنتج \(f([-2;1])\).
إظهار الجواب
القيمة القصوى \(= 3\). إذن \(f([-2;1]) = [-1;3]\).
خطأ يجب تفاديه. قراءة الصورة عند الطرفين وحدهما تعطي \([0;3]\): وهو خطأ، لأن \(f\) ليست رتيبة على هذا المجال.
التمرين ٦. حدّد \(a\) و\(b\) حتى تكون
\[ f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{إذا كان } x \leqslant 0 \\ \dfrac{\sin(bx)}{x} & \text{إذا كان } x > 0 \end{cases} \]متصلة في \(0\)، مع \(b \neq 0\).
أ) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x)\) و\(f(0)\).
إظهار الجواب
من أجل \(x \leqslant 0\)، \(f(x) = ax + 2\)، إذن \(f(0) = 2\) و
\[ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 2 \]ب) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)\) بدلالة \(b\).
إظهار الإرشاد
أظهر \(\dfrac{\sin(bx)}{bx}\).
إظهار الجواب
ج) استنتج قيمة \(a\) وقيمة \(b\).
إظهار الجواب
الاتصال يفرض تساوي النهايتين مع \(f(0)\)، إذن \(b = 2\).
أما قيمة \(a\) فهي كيفما كانت: إذ لا تتدخل في النهاية على اليسار، التي تساوي \(a \times 0 + 2 = 2\) مهما كان \(a\).
نقطة منهجية. شرط الالتقاء لا يحدّد دائما كل الوسائط. ويجب التحقق من تلك التي تتدخل فعلا.
التمرين ١٠. الأشكال غير المحددة.
أ) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\).
إظهار الجواب
الشكل \(\frac{0}{0}\) مرفوع بالتحليل إلى عوامل.
ب) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)\).
إظهار الإرشاد
اضرب في المرافق \(\sqrt{x^2+x} + x\).
إظهار الجواب
الشكل \(\infty - \infty\) مرفوع بالمقدار المرافق.
ج) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}\).
إظهار الجواب
الشكل \(\frac{0}{0}\) أُرجع إلى جداء أحد عامليه يؤول إلى \(0\).
د) هل يمكن لشكلين \(\infty - \infty\) أن يكون لهما نهايتان مختلفتان؟ أعط مثالين.
إظهار الجواب
نعم، وهذا هو كل معنى كلمة «غير محدد».
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1) - x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big((x^2) - x\big) = +\infty \]فالشكل غير المحدد ليس نتيجة: بل هو إشارة إلى وجوب تحويل التعبير.
المستوى ٣ — المقارنة والحصر
التمرين ١١. الدوال المحدودة، المقارنة والحصر.
أ) احصر \(\sin x\) من أجل كل عدد حقيقي \(x\)، ثم احصر \(\dfrac{\sin x}{x}\) من أجل \(x > 0\).
إظهار الجواب
وبالقسمة على \(x > 0\)، وهو ما لا يغيّر منحى المتفاوتات:
\[ -\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x} \]ب) استنتج \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\).
إظهار الجواب
الحدّان \(-\frac{1}{x}\) و\(\frac{1}{x}\) يؤولان إلى \(0\) في \(+\infty\).
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]إنها مبرهنة الحصر: وهي تسمح بالاستنتاج لأن الحدّين يؤولان إلى النهاية المنتهية نفسها.
ج) الدالة \(x \mapsto \sin x\) محدودة. هل تقبل نهاية في \(+\infty\)؟ برّر.
إظهار الإرشاد
تأمل القيم المأخوذة في \(x = 2k\pi\) وفي \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)، من أجل \(k\) عدد صحيح يؤول إلى اللانهاية.
إظهار الجواب
لا. لنضع \(x_k = 2k\pi\) و\(y_k = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
\[ \sin(x_k) = 0 \quad \text{و} \quad \sin(y_k) = 1 \quad \text{لكل } k \]المتتاليتان تؤولان إلى \(+\infty\) لكن قيم \(\sin\) فيهما تبقى مساوية لـ\(0\) ولـ\(1\) على التوالي. إذن لا يمكن للدالة أن تقترب من أي قيمة وحيدة.
للتذكر. كون الدالة محدودة لا يكفي لوجود نهاية. فما يجعل \(\frac{\sin x}{x}\) متقاربة ليس كون \(\sin\) محدودة، بل كون \(\frac{1}{x}\) يؤول إلى \(0\) فيسحق التذبذب.
د) لتكن \(f\) بحيث \(f(x) \geqslant x - \cos x\) من أجل كل \(x > 0\). حدّد \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
إظهار الجواب
بما أن \(\cos x \leqslant 1\)، فإن \(x - \cos x \geqslant x - 1\)، إذن
\[ f(x) \geqslant x - 1 \quad \text{لكل } x > 0 \]وبما أن \(x - 1 \to +\infty\)، فحسب مبرهنة المقارنة:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]الفرق مع ب). هنا يكفي تصغير واحد، لأننا ندفع نحو \(+\infty\). أما الحصر فيتطلب حدّين ونهاية منتهية.
المستوى ٤ — التعميق
التمرين ٧. لتكن \(f\) متصلة على \([0;1]\) بحيث \(f(0) = 0\) و\(f(1) = 1\).
أ) نبحث عن \(c\) بحيث \(f(c) = 1 - c\). ما الدالة المساعدة التي ينبغي إدخالها؟
إظهار الجواب
لنضع \(g(x) = f(x) - 1 + x\). فالمعادلة \(f(c) = 1-c\) تكافئ \(g(c) = 0\)، وهو ما يُرجع المسألة إلى انعدام.
و\(g\) متصلة على \([0;1]\) بوصفها مجموع دالتين متصلتين.
ب) احسب \(g(0)\) و\(g(1)\).
إظهار الجواب
ج) استنتج، واستخرج الطريقة العامة.
إظهار الجواب
حسب م.ق.و.، يوجد \(c \in ]0;1[\) بحيث \(g(c) = 0\)، أي \(f(c) = 1 - c\).
طريقة للحفظ. من أجل معادلة من الشكل \(f(x) = \varphi(x)\)، نُدخل \(g = f - \varphi\) ونطبّق م.ق.و. على \(g\).
ولاحظ أنه لا يمكن قول شيء عن الوحدانية: فـ\(f\) ليست مفترَضة رتيبة.
التمرين ٨. لتكن \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) على \([0;1]\).
أ) بيّن أن \(f\) متصلة وتزايدية قطعا على \([0;1]\).
إظهار الجواب
\(f\) دالة جذرية و\(x^2+1\) لا ينعدم: إذن \(f\) متصلة على \([0;1]\).
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]وعلى \([0;1[\)، \(1 - x^2 > 0\) إذن \(f' > 0\): ومنه \(f\) تزايدية قطعا على \([0;1]\).
ب) استنتج أن \(f\) تقابل من \([0;1]\) نحو مجال \(J\) يُطلب تحديده.
إظهار الجواب
كون \(f\) متصلة وتزايدية قطعا على \([0;1]\) يجعلها تقابلا من \([0;1]\) نحو \(J = \left[0 ; \tfrac{1}{2}\right]\).
ج) حدّد \(f^{-1}(y)\) من أجل \(y \in J\).
إظهار الإرشاد
حلّ \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\) بدلالة \(x\): إنها معادلة من الدرجة الثانية.
إظهار الجواب
لنحلّ \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\):
\[ yx^2 - x + y = 0 \]من أجل \(y \neq 0\)، المميز هو \(\Delta = 1 - 4y^2 \geqslant 0\) لأن \(y \leqslant \tfrac{1}{2}\). والجذران هما
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4y^2}}{2y} \]من أجل \(0 < y < \tfrac{1}{2}\)، لدينا \(\Delta = 1-4y^2 > 0\): إذن الجذران مختلفان. وجداؤهما يساوي \(\dfrac{y}{y} = 1\)، ومنه أحدهما في \(]0;1[\) والآخر في \(]1;+\infty[\). ولا ينتمي إلى \([0;1]\) إلا الفرع ذو الإشارة \(-\):
\[ f^{-1}(y) = \frac{1 - \sqrt{1-4y^2}}{2y} \qquad \left(0 < y < \tfrac{1}{2}\right) \]وعند الطرفين، لا ينطبق الاستدلال السابق ويجب معالجة كل حالة على حدة.
- \(y = 0\): تصير المعادلة \(yx^2 - x + y = 0\) هي \(-x = 0\). فلم تعد من الدرجة الثانية، والصيغة أعلاه غير معرّفة. والحل الوحيد هو \(x = 0\)، إذن \(f^{-1}(0) = 0\).
- \(y = \tfrac{1}{2}\): عندئذ \(\Delta = 1 - 4 \times \tfrac14 = 0\). والإشارتان تعطيان القيمة نفسها \(x = \dfrac{1}{2y} = 1\): فلم يبق اختيار، والجذر مضاعف. إذن \(f^{-1}\!\left(\tfrac12\right) = 1\)، وهو منسجم مع \(f(1) = \tfrac12\).
نقطة دقة. كتابة «لا يصلح إلا الفرع \(-\)» لا تصحّ إلا ما دام \(\Delta > 0\). ففي \(y = \tfrac12\) يتطابق الفرعان، وفي \(y = 0\) تتغيّر طبيعة المعادلة: وطرفا المجال يستحقان دائما فحصا خاصا.
التمرين ١٢. نهاية دالة مركّبة.
أ) احسب \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}}\) وبرّر المرور إلى النهاية.
إظهار الجواب
لنضع \(t = \dfrac{4x^2+1}{x^2+3}\). وبإخراج \(x^2\) كعامل مشترك:
\[ \lim_{x \to +\infty} t = \frac{4}{1} = 4 \]الدالة \(t \mapsto \sqrt{t}\) متصلة في \(4\)، مع \(\sqrt{4}=2\): إذن المرور إلى النهاية مشروع دون فرضية إضافية.
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}} = 2 \]ب) لتكن \(u(x) = 0\) من أجل كل \(x\)، و\(v\) معرّفة بـ \(v(t) = 1\) إذا كان \(t \neq 0\)، و\(v(0) = 5\). احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 0} u(x)\)، و\(\displaystyle\lim_{t \to 0} v(t)\)، ثم \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(v \circ u)(x)\).
إظهار الجواب
لكن \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) من أجل كل \(x\)، إذن
\[ \lim_{x \to 0} (v \circ u)(x) = 5 \neq 1 \]ج) ما الفرضية الناقصة في السؤال ب)، ولماذا لا يحتاجها السؤال أ)؟
إظهار الجواب
لما يكون \(b\) منتهيا، لا تكفي النهايتان. بل يجب إضافة، على الاختيار: أن تكون \(v\) متصلة في \(b\)، أو أن يكون \(u(x) \neq b\) على جوار مثقوب لـ\(a\).
ففي ب)، تأخذ \(u\) بالضبط القيمة \(b = 0\)، وهي بالذات حيث تكون \(v\) غير متصلة: إذن لا يتحقق أي من الشرطين.
أما في أ)، فإن \(v = \sqrt{\;}\) متصلة في \(b = 4\): فالشرط الأول متحقق، ولا شيء آخر يُتحقق منه.
نقطة منهجية. التحقق من أن \(u(x)\) ينتمي إلى مجموعة تعريف \(v\) لا يكفي لتبرير تغيير المتغير داخل نهاية.
سلّم إرشادي ونقط منهجية
| التمرين | الطريقة المفتاح | النقط |
|---|---|---|
| ١ | المقدار المرافق، ثم تعريف الاتصال | 2 |
| ٢ | خارج دالتين متصلتين، مقام لا ينعدم | 2 |
| ٣ | الجذور من الرتبة \(n\) والقوى الجذرية | 2 |
| ٤ | م.ق.و.؛ مثال مضاد للوحدانية بإشارة \(f'\) | 3 |
| ٥ | صورة مجال مغلق بجدول التغيرات | 3 |
| ٦ | النهايات الجانبية؛ \(\lim \frac{\sin t}{t} = 1\) | 3 |
| ٧ | الدالة المساعدة \(g = f - \varphi\)، ثم م.ق.و. | 2 |
| ٨ | التقابل، الصورة، القلب الجبري، اختيار الجذر | 3 |
معالجة موجّهة
- التمارين ١ أو ٢ أو ٣ غير منجزة ← العودة إلى الدرس الأساسي، الفقرات أ١ إلى أ٥، ثم المثالين ١ و٢.
- التمرين ٤ أو ٥ غير منجز ← مراجعة أ٧ وب١، ثم المثال ٣. والخطأ يكون غالبا \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) مطبَّقة دون رتابة.
- التمرين ٦ غير منجز ← مراجعة أ٢ والنهايات المثلثية للسنة الأولى.
- التمرينان ٧ أو ٨ غير منجزين ← مراجعة ب٢ وب٤، ثم المثال ٥.
أجوبة مختصرة
- ١. متصلة في \(0\).
- ٢. متصلة على \([0;+\infty[\).
- ٣. \(2\)؛ \(3\)؛ \(4\).
- ٤. أ) م.ق.و. على \([0;1]\). ب) لا، ثلاثة حلول.
- ٥. \([-1;3]\).
- ٦. \(b = 2\)، و\(a\) كيفما كان.
- ٧. وضع \(g(x) = f(x) - 1 + x\).
- ٨. \(J = \left[0;\tfrac12\right]\)؛ \(f^{-1}(y) = \dfrac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2y}\).
سلّم إرشادي ونقط منهجية — التمارين ٩ إلى ١٢
التمرين ٩ — النهايات الاعتيادية، إشارة المقام، النهاية المثلثية. ٤ نقط.
التمرين ١٠ — الأشكال الأربعة غير المحددة وتقنيات رفعها. ٤ نقط.
التمرين ١١ — الحصر، المقارنة، والمثال المضاد للدالة المحدودة بلا نهاية. ٤ نقط.
التمرين ١٢ — المركّبة: شرط الاتصال أو شرط الجوار المثقوب. ٣ نقط.
معالجة موجّهة — جزء النهايات
إذا استعصى التمرين ٩ ب) أو ج): راجع إشارة المقام لما يؤول إلى \(0\)، وعد إلى المثال ١ من الدرس.
إذا استعصى التمرين ١٠: عد إلى طريقة «رفع شكل غير محدد» في الدرس، تقنية تلو الأخرى، قبل إعادة الأمثلة ٦ إلى ٨.
إذا استعصى التمرين ١١ ج): احفظ أن كون الدالة محدودة لا يعطي أي نهاية، وأن الحصر يتطلب حدّين يؤولان إلى القيمة المنتهية نفسها.
إذا استعصى التمرين ١٢ ج): أعد المثال ٩، فهو يعالج هذه النقطة بالضبط.
أجوبة مختصرة — التمارين ٩ إلى ١٢
٩ أ) \(\frac{3}{2}\) — ب) \(+\infty\) و\(-\infty\)، بلا نهاية — ج) \(+\infty\) — د) \(3\).
١٠ أ) \(4\) — ب) \(\frac{1}{2}\) — ج) \(0\) — د) \(1\) و\(+\infty\).
١١ أ) \(-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}\) — ب) \(0\) — ج) لا — د) \(+\infty\).
١٢ أ) \(2\) — ب) \(0\)، \(1\)، ثم \(5\) — ج) الاتصال في \(b\)، أو الجوار المثقوب.
وضع الامتحان
الموضوع ١ — الاتصال
امتحان مدته \(1\) ساعة، على \(20\) نقطة. بدون وثائق. أنجز التمارين الثلاثة بالترتيب الذي تختاره، مع التحرير الكامل.
التمرين الأول — الاتصال والتقاء الفروع (٦ نقط)
لتكن
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} & \text{إذا كان } x > 2 \\ ax + 1 & \text{إذا كان } x \leqslant 2 \end{cases} \]- ١. احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\). (٢ نقطتان)
- ٢. حدّد \(a\) حتى تكون \(f\) متصلة في \(2\). (٢ نقطتان)
- ٣. بهذه القيمة لـ\(a\)، برّر أن \(f\) متصلة على \(\mathbb{R}\). (٢ نقطتان)
التمرين الثاني — مبرهنة القيم الوسيطية والتنصيف (٧ نقط)
لتكن \(g(x) = x^3 + x^2 - 2\).
- ١. برّر أن \(g\) متصلة على \(\mathbb{R}\). (١ نقطة)
- ٢. احسب \(g(0)\) و\(g(2)\)، ثم بيّن أن \(g(x) = 0\) تقبل حلا في \([0;2]\). (٢ نقطتان)
- ٣. ادرس إشارة \(g'\) على \([0;2]\) واستنتج وحدانية هذا الحل \(\alpha\). (٢ نقطتان)
- ٤. احصر \(\alpha\) بسعة \(0{,}5\) بطريقة التنصيف. (٢ نقطتان)
التمرين الثالث — التقابل والدالة العكسية (٧ نقط)
لتكن \(h(x) = \sqrt{2x + 3}\) على \(I = \left[-\tfrac{3}{2} ; +\infty\right[\).
- ١. برّر أن \(h\) متصلة على \(I\). (٢ نقطتان)
- ٢. ادرس رتابة \(h\) على \(I\). (٢ نقطتان)
- ٣. حدّد \(J = h(I)\). (١ نقطة)
- ٤. بيّن أن \(h\) تقابل من \(I\) نحو \(J\) وأعط \(h^{-1}\) بصيغة صريحة. (٢ نقطتان)
نصيحة في تدبير الوقت. حوالي \(15\) دقيقة للتمرين الأول، و\(20\) للثاني، و\(20\) للثالث، و\(5\) دقائق للمراجعة. في كل سؤال تستعمل فيه مبرهنة، تأكد من أنك كتبت فرضياتها.
الموضوع ٢ — النهايات والاتصال
امتحان مدته \(1\) ساعة، على \(20\) نقطة. بدون وثائق. أنجز التمارين الثلاثة بالترتيب الذي تختاره، مع التحرير الكامل.
التمرين الأول — حساب النهايات (٦ نقط)
١. احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}\). (٢ نقطتان)
٢. احسب \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+4x} - x\right)\). (٢ نقطتان)
٣. احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x}\). (٢ نقطتان)
التمرين الثاني — الحصر والمقارنة (٧ نقط)
لتكن \(f\) معرّفة على \(]0;+\infty[\) بـ\(f(x) = \dfrac{2 + \cos x}{x}\).
١. بيّن أن \(\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{3}{x}\) من أجل كل \(x > 0\). (٣ نقط)
٢. استنتج \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (٢ نقطتان)
٣. لتكن \(g(x) = x + \sin x\). بيّن أن \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). (٢ نقطتان)
التمرين الثالث — التمديد بالاتصال (٧ نقط)
لتكن \(h(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}\) معرّفة على \(]1;+\infty[\).
١. حدّد \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} h(x)\). (٢ نقطتان)
٢. هل \(h\) قابلة للتمديد بالاتصال في \(1\)؟ إذا كان الجواب نعم، أعط تمديدها \(\tilde h\). (٣ نقط)
٣. لتكن \(k(x) = \sqrt{h(x) + 3}\). احسب \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} k(x)\)، مع تبرير المرور إلى النهاية. (٢ نقطتان)
وضع الامتحان — التصحيح
التمرين الأول (٦ نقط)
١. من أجل \(x > 2\)، نحلّل البسط. \(x^2 - x - 2\) جذراه \(2\) و\(-1\)، إذن
\[ \frac{x^2-x-2}{x-2} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1 \] \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \]٢. على اليسار، \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + 1 = f(2)\). والاتصال في \(2\) يفرض
\[ 2a + 1 = 3 \;\Longrightarrow\; a = 1 \]٣. بـ\(a = 1\): على \(]-\infty;2]\)، \(f(x) = x+1\) دالة حدودية إذن متصلة؛ وعلى \(]2;+\infty[\)، \(f(x) = x+1\) أيضا. وفي \(2\)، أُثبت الاتصال في السؤال ٢. إذن \(f\) متصلة على \(\mathbb{R}\) — وهي في الواقع تساوي \(x+1\) في كل مكان.
التمرين الثاني (٧ نقط)
١. \(g\) دالة حدودية، إذن متصلة على \(\mathbb{R}\).
٢.
\[ g(0) = -2 < 0, \qquad g(2) = 8 + 4 - 2 = 10 > 0 \]\(g\) متصلة على \([0;2]\) و\(g(0) \cdot g(2) < 0\): إذن، حسب م.ق.و.، تنعدم \(g\) مرة واحدة على الأقل في \(]0;2[\).
٣.
\[ g'(x) = 3x^2 + 2x = x(3x+2) \]على \(]0;2]\)، \(x > 0\) و\(3x + 2 > 0\) إذن \(g' > 0\): ومنه \(g\) تزايدية قطعا على \([0;2]\). إذن الحل \(\alpha\) وحيد.
٤. التنصيف:
\[ g(1) = 1 + 1 - 2 = 0 \]الحل مُبلَغ بالضبط: \(\alpha = 1\). إذن الحصر المطلوب فوري، \(\alpha \in [1;1]\).
ملاحظة. المترشح الذي يواصل التنصيف دون أن ينتبه إلى \(g(1) = 0\) لا يُعاقَب إذا كان الحصر المحصَّل صحيحا.
التمرين الثالث (٧ نقط)
١. لنضع \(u(x) = 2x+3\)، وهي حدودية إذن متصلة على \(I\)، و\(v(t) = \sqrt{t}\)، متصلة على \([0;+\infty[\). من أجل \(x \geqslant -\tfrac{3}{2}\)، \(u(x) \geqslant 0\)، إذن \(u(I) \subset [0;+\infty[\). وبالتركيب، \(h = v \circ u\) متصلة على \(I\).
٢. \(u\) تزايدية قطعا و\(v\) تزايدية قطعا على \([0;+\infty[\): إذن المركّبة \(h\) تزايدية قطعا على \(I\).
أو بالحساب، على \(\left]-\tfrac32;+\infty\right[\):
\[ h'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0 \]٣.
\[ h\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty \]كون \(h\) متصلة وتزايدية قطعا على \(I\) يعطي \(J = h(I) = [0;+\infty[\).
٤. متصلة ورتيبة قطعا: إذن \(h\) تقابل من \(I\) نحو \(J\). من أجل \(y \geqslant 0\):
\[ y = \sqrt{2x+3} \;\Longrightarrow\; y^2 = 2x+3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{y^2-3}{2} \] \[ h^{-1}(y) = \frac{y^2 - 3}{2} \quad \text{لكل } y \in [0;+\infty[ \]التحقق. \(h(3) = \sqrt{9} = 3\) و \(h^{-1}(3) = \frac{9-3}{2} = 3\) ✓
كيف تقرأ نقطتك
- ١٦ إلى ٢٠ — الفصل متمكَّن منه. انتقل إلى الفصل الموالي.
- ١١ إلى ١٥ — الأسس راسخة. أعد تمارين المستوى ٣.
- ٦ إلى ١٠ — راجع الجزء ج من الدرس الأساسي، ثم المثالين ٤ و٥.
- ٠ إلى ٥ — استأنف الفصل من الجزء ب، وأعد تشخيص الصفحة الرئيسية.
الأخطاء الأكثر تكرارا
- التمرين الأول ٣: إغفال معالجة الفرعين و نقطة الالتقاء.
- التمرين الثاني ٣: استنتاج الوحدانية دون دراسة إشارة \(g'\).
- التمرين الثالث ١: استعمال التركيب دون التحقق من \(u(I) \subset [0;+\infty[\).
- التمرين الثالث ٤: إعطاء \(h^{-1}\) دون تحديد مجموعة تعريفها.
الموضوع ٢ — التصحيح
التمرين الأول (٦ نقط)
١. العدد \(1\) يُعدم الحدوديتين:
\[ \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1) \] \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{2}{-1} = -2 \]٢. المقدار المرافق:
\[ \sqrt{x^2+4x} - x = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1} \longrightarrow 2 \]٣. إظهار \(\dfrac{\sin t}{t}\):
\[ \frac{\sin(5x)}{2x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \longrightarrow \frac{5}{2} \]التمرين الثاني (٧ نقط)
١. من أجل كل عدد حقيقي \(x\)، \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\)، إذن \(1 \leqslant 2+\cos x \leqslant 3\). وبالقسمة على \(x > 0\)، وهو ما لا يقلب المتفاوتات:
\[ \frac{1}{x} \leqslant \frac{2+\cos x}{x} \leqslant \frac{3}{x} \]٢. الحدّان يؤولان إلى \(0\) في \(+\infty\). فحسب مبرهنة الحصر:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \]٣. بما أن \(\sin x \geqslant -1\)، فإن \(g(x) \geqslant x - 1\) من أجل كل \(x\). وبما أن \(x-1 \to +\infty\)، فحسب المقارنة:
\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]ويكفي هنا تصغير واحد، لأننا ندفع نحو \(+\infty\).
التمرين الثالث (٧ نقط)
١. البسط \(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\) ينعدم هو أيضا في \(1\). وبعد التبسيط، المشروع لأن \(x \neq 1\):
\[ h(x) = x - 2 \qquad \text{إذن} \qquad \lim_{x \to 1^{+}} h(x) = -1 \]النهاية منتهية: فالمقام ينعدم، لكن لا يوجد أي تباعد، خلافا لما كان شكل الكتابة يوحي به.
٢. النهاية موجودة ومنتهية: إذن \(h\) قابلة للتمديد بالاتصال في \(1\)، والتمديد وحيد:
\[ \tilde h(x) = \begin{cases} h(x) & \text{إذا كان } x > 1 \\ -1 & \text{إذا كان } x = 1 \end{cases} \]والقيمة \(-1\) ليست مختارة: بل مفروضة بالنهاية.
٣. لدينا \(h(x) + 3 \to -1 + 3 = 2\) لما \(x \to 1^{+}\). والدالة \(t \mapsto \sqrt{t}\) متصلة في \(2\): إذن المرور إلى النهاية في المركّبة مشروع دون فرضية إضافية.
\[ \lim_{x \to 1^{+}} k(x) = \sqrt{2} \]كيف تقرأ نقطتك — الموضوع ٢
١٦ إلى ٢٠ — النهايات راسخة، بما فيها الحالات الملغّمة.
١١ إلى ١٥ — التقنيات معروفة، ويبقى الاعتناء بالتبريرات.
٦ إلى ١٠ — راجع الأشكال غير المحددة والحصر قبل المواصلة.
٠ إلى ٥ — عد إلى الجزء أ من الدرس — النهايات — وإلى الأمثلة ٦ إلى ٩.
الأخطاء الأكثر تكرارا — الموضوع ٢
استنتاج التباعد بمجرد انعدام المقام، دون التحقق مما إذا كان البسط ينعدم هو أيضا — التمرين الثالث السؤال ١.
قسمة حصر على \(x\) دون الإشارة إلى أن \(x > 0\): فمع \(x < 0\)، تنقلب المتفاوتات.
استعمال مبرهنة الحصر لاستنتاج نهاية لانهائية: فالحصر يعطي نهاية منتهية؛ أما اللانهاية فالمقارنة، ويكفي فيها حدّ واحد.