Limites e Continuidade de uma Função Numérica — 2BAC PC / SVT
Curso interativo em português sobre limites e continuidade: limites num ponto e no infinito, formas indeterminadas, limite de uma composta, comparação e enquadramento, continuidade, prolongamento por continuidade, teorema dos valores intermédios, bisseção, função inversa, raízes de índice n e potências racionais.
Mohamed Lagzouli
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Bem-vindo a este curso
Este curso cobre o primeiro capítulo do programa do 2.º ano do Bacharelado, Ciências Físicas e Ciências da Vida e da Terra. Foi concebido para ser seguido por ordem: todos os resultados da Parte C assentam nas Partes A e B.
Como trabalhar este curso
- Leia uma ideia, depois trabalhe o seu exemplo antes de passar à seguinte.
- Procure cada resposta antes de a revelar — é aí que se aprende.
- Volte ao Curso essencial assim que um exercício resistir.
Diagnóstico: onde está você?
Nove perguntas sobre os pré-requisitos. Responda primeiro, revele depois. Se três ou mais respostas lhe escaparem, reveja os limites do 1.º ano antes de começar a Parte A.
1. Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)\).
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Um polinómio: substitua diretamente.
2. Seja \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\). Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\).
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Forma indeterminada \(\frac{0}{0}\). Fatorize:
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1) \]Portanto o limite vale \(2\).
3. Quanto vale \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}\)? E \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}\)?
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Os dois limites diferem: o limite em \(0\) não existe.
4. Indique o domínio de definição de \(g(x) = \sqrt{x - 3}\).
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É preciso que \(x - 3 \geqslant 0\), ou seja, \(D_g = [3 ; +\infty[\).
5. Pode uma função estritamente crescente em \([a;b]\) tomar duas vezes o mesmo valor?
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Não. Se \(x_1 < x_2\) então \(f(x_1) < f(x_2)\): dois pontos distintos têm imagens distintas. Esta observação será o argumento de unicidade ao longo do capítulo.
6. Traduza: «a curva de \(f\) pode ser traçada sem levantar o lápis em \([0;1]\)».
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\(f\) é contínua em \([0;1]\). A imagem é correta, mas não é uma demonstração: no 2.º ano, a continuidade estabelece-se pela definição ou pelos teoremas sobre operações.
Objetivo do capítulo. Passar de «a curva parece contínua» para «demonstro que \(f\) é contínua, e daí retiro uma conclusão».
Pergunta 7. Verdadeiro ou falso: se \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -1\) e \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 1\), então \(f\) tem limite em \(1\).
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Falso. Os dois limites existem mas são diferentes.
O limite num ponto só existe quando os limites à direita e à esquerda são iguais. É o erro mais frequente do capítulo.
Pergunta 8. Quanto vale \(\infty - \infty\)?
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Não vale coisa nenhuma. É uma forma indeterminada.
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1)-x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big(x^2-x\big) = +\infty \]Duas expressões da mesma forma, dois resultados diferentes: é preciso transformar a escrita antes de concluir.
Pergunta 9. A função \(x \mapsto \sin x\) é limitada. Terá limite em \(+\infty\)?
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Não. Ser limitada não basta para ter limite.
\(\sin(2k\pi) = 0\) e \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) = 1\): a função não se aproxima de nenhum valor único.
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Eis a ideia central do capítulo e a sua aplicação mais útil. O curso completo desenvolve cada ponto com os seus próprios exemplos.
Continuidade num ponto. Seja \(f\) definida num intervalo \(I\) e seja \(a \in I\). Dizemos que \(f\) é contínua em \(a\) quando
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]Três condições são assim verificadas ao mesmo tempo: \(f(a)\) existe, o limite existe, e os dois coincidem. Se uma delas falhar, \(f\) não é contínua em \(a\).
Exemplo. Seja \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) para \(x \neq 2\) e \(f(2) = 4\). Estudemos a continuidade em \(2\).
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2) \]Portanto \(f\) é contínua em \(2\).
Teorema dos valores intermédios. Se \(f\) é contínua em \([a;b]\), então para todo o número real \(k\) compreendido entre \(f(a)\) e \(f(b)\), a equação \(f(x) = k\) admite pelo menos uma solução em \([a;b]\).
Três perguntas para se testar
1. Seja \(f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) para \(x \neq 3\) e \(f(3) = 5\). Será \(f\) contínua em \(3\)?
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Não. \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = 6\) ao passo que \(f(3) = 5\). O limite existe, o valor existe, mas são diferentes.
2. \(f\) é contínua em \([0;3]\), \(f(0) = -2\) e \(f(3) = 7\). O que se pode afirmar?
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Como \(0\) está compreendido entre \(-2\) e \(7\), a equação \(f(x) = 0\) admite pelo menos uma solução em \([0;3]\). Sem hipótese de monotonia, nada se pode dizer sobre a unicidade.
3. Porque não se pode aplicar o TVI a \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) em \([-1;1]\)?
Ver a resposta
\(f\) não está definida em \(0\), logo não é contínua em \([-1;1]\). A hipótese do teorema falha, e a conclusão desaparece com ela. De facto \(f(-1) = -1\) e \(f(1) = 1\), e no entanto \(f\) nunca se anula.
A reter. O TVI dá a existência. A unicidade exige um argumento suplementar: a monotonia estrita. É o objeto do corolário, tratado na Parte C.
Um limite que se calcula após transformação
Quanto vale \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)?
O cálculo direto dá \(\frac{0}{0}\): uma forma indeterminada, que não é um resultado mas um sinal.
Ver a resposta
Fatorizamos o numerador:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4 \]A função não está definida em \(2\), mas o limite aí é finito: pode ser prolongada por continuidade pondo \(f(2) = 4\).
O curso completo trata os limites e depois a continuidade, com nove exemplos resolvidos, doze exercícios e duas provas de exame corrigidas.
Curso essencial
Parte A — Limites de uma função numérica
L1. As quatro situações de limite
Limite finito num ponto
Seja \(f\) definida num intervalo aberto que contém \(a\), exceto talvez em \(a\). Dizemos que \(f\) tem \(\ell\) por limite em \(a\) quando os valores \(f(x)\) se tornam tão próximos de \(\ell\) quanto se queira, desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(a\).
Limite à direita e limite à esquerda
O limite em \(a\) existe se e só se estes dois limites existirem e forem iguais.
É o erro mais frequente do capítulo. Para \(f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}\), tem-se \(\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-1\) e \(\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1\): os dois limites existem, são diferentes, logo \(f\) não tem limite em \(1\).
Limite infinito num ponto
Dizemos que \(f\) tende para \(+\infty\) quando \(x\) tende para \(a\) se \(f(x)\) ultrapassa qualquer número fixado de antemão, por maior que seja, desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(a\). Escreve-se:
Atenção ao vocabulário: diz-se que o limite é infinito, mas a função não admite então nenhum limite finito. O infinito não é um número.
Exemplo 1 — um limite infinito, e o papel do sinal
Estude o comportamento de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) e depois de \(g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\) em \(0\).
Ver a resolução
Para \(g\), o denominador \(x^{2}\) é estritamente positivo de ambos os lados de \(0\):
Para \(f\), o denominador muda de sinal:
Os dois limites são diferentes: \(f\) não tem limite em \(0\), ao passo que \(g\) tem. Tudo se joga no sinal do denominador.
Limite no infinito
Estuda-se aqui o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se torna muito grande em valor absoluto.
Um limite finito \(\ell\) em \(+\infty\) significa que a curva se aproxima indefinidamente da reta horizontal \(y=\ell\) sem necessariamente a atingir.
Limites usuais
| Função (\(n\in\mathbb{N}^{*}\)) | Em \(0^{+}\) | Em \(+\infty\) | Em \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^{n}\), \(n\) par | \(0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^{n}\), \(n\) ímpar | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\dfrac{1}{x^{n}}\) | \(+\infty\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(0\) | \(+\infty\) | não definida |
Dois limites trigonométricos a saber:
L2. Regras de cálculo
Soma de dois limites
Aqui \(\ell\) e \(\ell'\) designam limites finitos.
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f+g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell+\ell'\) |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | indeterminada |
Produto de dois limites
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f\times g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell\ell'\) |
| \(\ell>0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell<0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | regra dos sinais |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | indeterminada |
Quociente de dois limites
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim \frac{f}{g}\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) |
| \(\ell\neq 0\) | \(0^{+}\) ou \(0^{-}\) | \(\pm\infty\) conforme os sinais |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\pm\infty\) conforme os sinais |
| \(0\) | \(0\) | indeterminada |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | indeterminada |
Quando o denominador tende para \(0\), o sinal pelo qual se anula decide o resultado. É por isso que, neste caso, se estudam sempre os limites à direita e à esquerda separadamente.
As quatro formas indeterminadas:
Nenhuma destas escritas vale \(0\), nem \(1\), nem \(\infty\). Apenas assinalam que o cálculo direto falha e que é preciso transformar a expressão. Duas formas indeterminadas do mesmo tipo podem dar resultados diferentes.
Levantar uma forma indeterminada
- \(\frac{0}{0}\) polinomial: fatorizar por \((x-a)\) no numerador e no denominador.
- \(\frac{\infty}{\infty}\) racional: pôr em evidência o termo de maior grau.
- \(\infty-\infty\) com raízes: multiplicar pela expressão conjugada.
- \(0\times\infty\): reduzir a um quociente.
Exemplo 2 — forma \(\frac{0}{0}\)
Ver a resolução
O numerador e o denominador anulam-se em \(2\). Fatorizamos:
Exemplo 3 — forma \(\frac{\infty}{\infty}\)
Ver a pista
Pôr \(x^{2}\) em evidência em cima e em baixo.
Ver a resolução
Cada termo em \(\frac{1}{x}\) ou \(\frac{1}{x^{2}}\) tende para \(0\), donde:
Exemplo 4 — forma \(\infty-\infty\)
Ver a pista
Multiplicar e dividir pela expressão conjugada \(\sqrt{x^{2}+x}+x\).
Ver a resolução
Para \(x>0\), põe-se \(x\) em evidência no denominador:
L3. Limite de uma função composta
Limite de uma composta
Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) finitos ou infinitos, e suponhamos
Estas duas hipóteses não bastam quando \(b\) é finito. É preciso acrescentar uma das duas condições seguintes.
Primeiro caso — \(b\) é infinito. Nada a acrescentar:
Segundo caso — \(b\) é finito e \(v\) é contínua em \(b\). Então \(c=v(b)\) e a conclusão vale sem outra hipótese.
Terceiro caso — \(b\) é finito e \(v\) não se supõe contínua em \(b\). É então necessário que \(u(x)\neq b\) numa vizinhança perfurada de \(a\), isto é, para todo o \(x\) próximo de \(a\) mas diferente de \(a\).
Na prática, põe-se \(t=u(x)\): é uma mudança de variável. É preciso também verificar que \(u(x)\) pertence ao domínio de \(v\) na vizinhança de \(a\), mas essa verificação sozinha não basta para justificar a passagem ao limite.
Eis porque a terceira condição é indispensável. Tomemos:
Tem-se de facto \(\lim_{x\to 0}u(x)=0\) e \(\lim_{t\to 0}v(t)=1\). No entanto \((v\circ u)(x)=v(0)=5\) para todo o \(x\), logo a composta tende para \(5\), e não para \(1\).
A razão é que \(u\) toma exatamente o valor \(b=0\), precisamente onde \(v\) é descontínua. No exemplo 5 abaixo o problema não se põe: \(v=\sqrt{\;}\) é contínua em \(4\), estamos no segundo caso.
Exemplo 5 — mudança de variável
Ver a resolução
Ponhamos \(t=\dfrac{4x^{2}+1}{x^{2}+3}\). Pondo \(x^{2}\) em evidência:
A função \(t\mapsto\sqrt{t}\) é contínua em \(4\), com \(\sqrt{4}=2\): estamos no segundo caso do teorema, nenhuma hipótese suplementar é exigida. Logo:
L4. Limites e ordem
Teorema de comparação
Sejam \(f\) e \(g\) tais que \(f(x)\leqslant g(x)\) na vizinhança de \(a\).
- Se \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\), então \(\lim_{x\to a} g(x)=+\infty\).
- Se \(\lim_{x\to a} g(x)=-\infty\), então \(\lim_{x\to a} f(x)=-\infty\).
Basta uma minoração para empurrar para \(+\infty\); basta uma majoração para empurrar para \(-\infty\).
Teorema do enquadramento
Sejam \(f\), \(g\), \(h\) definidas na vizinhança de \(a\), tais que \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) nessa vizinhança. Se \(g\) e \(h\) tiverem o mesmo limite finito \(\ell\) em \(a\), então \(f\) tem \(\ell\) por limite em \(a\).
Exemplo 6 — enquadramento com o seno
Ver a pista
Partir de \(-1\leqslant \sin x\leqslant 1\) e dividir por \(x>0\).
Ver a resolução
Para todo o \(x>0\):
Os dois limites tendem para \(0\) em \(+\infty\), donde:
Uma função limitada não tem necessariamente limite: \(x\mapsto \sin x\) é limitada e não admite nenhum limite em \(+\infty\). O enquadramento só conclui se os dois limites convergirem para o mesmo valor.
Parte B — Continuidade
A1. Continuidade num ponto
Seja \(f\) uma função definida num intervalo \(I\) e seja \(a \in I\). \(f\) é contínua em \(a\) se e só se
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]Caso contrário, \(f\) é descontínua em \(a\).
A definição exige três coisas: que \(a\) pertença ao domínio, que o limite exista e seja finito, e que os dois valores sejam iguais. Uma descontinuidade pode assim vir de três causas distintas.
Exemplo A1. Seja \(f(x) = 3x - 1\). Em \(a = 2\):
\[ \lim_{x \to 2} (3x-1) = 5 \quad \text{e} \quad f(2) = 5 \]Logo \(f\) é contínua em \(2\).
Exemplo A1'. Seja \(g(x) = \dfrac{1}{x-1}\) para \(x \neq 1\) e \(g(1) = 0\). Em \(a = 1\):
\[ \lim_{x \to 1^+} g(x) = +\infty \]O limite não é finito: \(g\) é descontínua em \(1\).
A2. Continuidade à direita, continuidade à esquerda
\(f\) é contínua à direita em \(a\) se
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \]\(f\) é contínua à esquerda em \(a\) se
\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]\(f\) é contínua em \(a\) se e só se for contínua à direita e à esquerda em \(a\):
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]Este critério é a ferramenta de referência para as funções definidas por ramos: cada lado do ponto de junção estuda-se separadamente.
Exemplo A2. Seja
\[ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{se } x \leqslant 1 \\ 3 - x & \text{se } x > 1 \end{cases} \]Estudo em \(a = 1\):
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 - 1 = 2, \qquad f(1) = 2 \]Os três valores coincidem: \(f\) é contínua em \(1\).
A3. Continuidade num intervalo
\(f\) é contínua num intervalo aberto \(]a;b[\) se for contínua em todo o ponto desse intervalo.
\(f\) é contínua em \([a;b]\) se for contínua em \(]a;b[\), contínua à direita em \(a\) e contínua à esquerda em \(b\).
Nos extremos de um intervalo fechado, só a continuidade pelo lado interior faz sentido — é por isso que a definição os trata separadamente.
A4. Continuidade das funções usuais
As funções seguintes são contínuas em todo o intervalo contido no seu domínio:
- as funções polinomiais, em \(\mathbb{R}\);
- as funções racionais, em todo o intervalo onde o denominador não se anula;
- \(x \mapsto \sqrt{x}\), em \([0;+\infty[\);
- \(x \mapsto \sin x\) e \(x \mapsto \cos x\), em \(\mathbb{R}\);
- \(x \mapsto \tan x\), em todo o intervalo que não contenha \(\frac{\pi}{2} + k\pi\);
- \(x \mapsto |x|\), em \(\mathbb{R}\).
Consequência prática. Quase nunca se volta à definição. Identifica-se a função como uma das usuais, ou como construída a partir delas pelas operações de A5.
A5. Operações sobre as funções contínuas
Sejam \(f\) e \(g\) contínuas em \(a\), e seja \(\lambda \in \mathbb{R}\). Então:
- \(f + g\) é contínua em \(a\);
- \(\lambda f\) é contínua em \(a\);
- \(f \times g\) é contínua em \(a\);
- \(\dfrac{f}{g}\) é contínua em \(a\) se \(g(a) \neq 0\);
- \(|f|\) é contínua em \(a\);
- \(\sqrt{f}\) é contínua em \(a\) se \(f(a) \geqslant 0\) e \(f \geqslant 0\) na vizinhança de \(a\).
Exemplo A5. Seja \(h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\). Em \(]3;+\infty[\): numerador e denominador são polinómios, logo contínuos; o denominador não se anula. Logo \(h\) é contínua em \(]3;+\infty[\). O mesmo argumento em \(]-\infty;3[\).
A6. Continuidade da composta
Se \(u\) é contínua em \(a\) e \(v\) contínua em \(u(a)\), então \(v \circ u\) é contínua em \(a\).
Se \(u\) é contínua em \(I\), \(u(I) \subset J\) e \(v\) contínua em \(J\), então \(v \circ u\) é contínua em \(I\).
Exemplo A6. Seja \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). Ponhamos \(u(x) = x^2 + 1\) e \(v(t) = \sqrt{t}\). \(u\) é contínua em \(\mathbb{R}\), e \(u(x) \geqslant 1 > 0\) logo \(u(\mathbb{R}) \subset [1;+\infty[\) onde \(v\) é contínua. Portanto \(f = v \circ u\) é contínua em \(\mathbb{R}\).
A7. Imagem de um intervalo, imagem de um intervalo fechado
Se \(f\) é contínua num intervalo \(I\), então \(f(I)\) é um intervalo.
Se \(f\) é contínua num intervalo fechado \([a;b]\), então \(f([a;b])\) é um intervalo fechado \([m;M]\), onde \(m\) é o mínimo e \(M\) o máximo de \(f\) em \([a;b]\). Em particular, \(f\) é limitada e atinge os seus extremos.
Atenção. \(f([a;b]) = [m;M]\) — e não \([f(a);f(b)]\). A igualdade \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) só vale se \(f\) for contínua e crescente em \([a;b]\).
Exemplo A7. Seja \(f(x) = x^2\) em \([-1;2]\). \(f(-1) = 1\) e \(f(2) = 4\), mas \(f([-1;2]) = [0;4]\): o mínimo \(0\) é atingido em \(x = 0\), no interior do intervalo. O intervalo \([1;4]\) seria uma resposta errada.
Caso monótono. Se \(f\) é contínua e estritamente monótona em \(I\), a imagem lê-se nos extremos:
- \(f\) crescente em \([a;b]\): \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\);
- \(f\) decrescente em \([a;b]\): \(f([a;b]) = [f(b);f(a)]\);
- \(f\) crescente em \([a;b[\): \(f([a;b[) = \left[f(a); \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\).
A8. Prolongamento por continuidade
Seja \(f\) definida em \(I \setminus \{a\}\), onde \(I\) é um intervalo que contém \(a\). A função \(f\) não está portanto definida em \(a\), e a questão da sua continuidade nesse ponto não se põe tal qual.
Dizemos que \(f\) é prolongável por continuidade em \(a\) quando \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) existe e é finito. Designando por \(\ell\) esse limite, pomos então:
\[ \tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in I \setminus \{a\} \\ \ell & \text{se } x = a \end{cases} \]A função \(\tilde f\) assim definida é contínua em \(a\): é o prolongamento por continuidade de \(f\).
Duas condições, e nenhuma é facultativa.
- O limite deve existir: se os limites à direita e à esquerda forem diferentes, nenhum prolongamento é possível.
- Deve ser finito: um limite infinito proíbe qualquer prolongamento, pois não se pode pôr \(\tilde f(a) = +\infty\).
Quando ambas se verificam, o valor \(\ell\) é imposto: o prolongamento existe e é único. Não se escolhe \(\tilde f(a)\).
Exemplo. Seja \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\), definida em \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Será prolongável por continuidade em \(2\)?
Para \(x \neq 2\), fatorizamos:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]O limite existe e é finito: \(f\) é prolongável por continuidade em \(2\), pondo \(\tilde f(2) = 4\).
Contraexemplo. Para \(g(x) = \dfrac{1}{x-2}\), tem-se \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} g(x) = +\infty\) e \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = -\infty\). Nem a existência nem a finitude se verificam: \(g\) não é prolongável por continuidade em \(2\) de maneira nenhuma.
A noção liga-se a A1: prolongar é precisamente acrescentar o valor em falta para que as três condições da continuidade num ponto fiquem enfim reunidas.
Parte C — Teoremas fundamentais
B1. Teorema dos valores intermédios
TVI. Seja \(f\) contínua em \([a;b]\). Para todo o real \(k\) compreendido entre \(f(a)\) e \(f(b)\), existe pelo menos um \(c \in [a;b]\) tal que \(f(c) = k\).
Caso particular. Se \(f\) é contínua em \([a;b]\) e \(f(a) \cdot f(b) < 0\), então a equação \(f(x) = 0\) admite pelo menos uma solução em \(]a;b[\).
Exemplo B1. Mostremos que \(x^3 + x - 1 = 0\) admite uma solução em \([0;1]\). Ponhamos \(f(x) = x^3 + x - 1\), contínua em \(\mathbb{R}\) por ser polinomial.
\[ f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0 \]\(f\) é contínua em \([0;1]\) e \(f(0) \cdot f(1) < 0\): pelo TVI, existe \(c \in ]0;1[\) tal que \(f(c) = 0\).
Redação esperada. Três elementos obrigatórios: a continuidade (com a sua justificação), o intervalo, e o sinal ou o enquadramento. Omitir a justificação da continuidade custa pontos.
B2. Corolário: existência e unicidade
Se \(f\) é contínua e estritamente monótona em \([a;b]\), então para todo o \(k\) compreendido entre \(f(a)\) e \(f(b)\), a equação \(f(x) = k\) admite uma solução única em \([a;b]\).
O TVI fornece a existência, a monotonia estrita fornece a unicidade. São dois argumentos distintos, a citar separadamente.
Exemplo B2. Retomemos \(f(x) = x^3 + x - 1\) em \([0;1]\). \(f\) é derivável e \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\), logo \(f\) é estritamente crescente em \([0;1]\). Juntando ao exemplo B1, a equação \(f(x) = 0\) admite uma solução única \(\alpha \in ]0;1[\).
B3. Enquadramento por bisseção
A bisseção enquadra a solução \(\alpha\) dividindo o intervalo ao meio em cada etapa e conservando a metade onde a mudança de sinal persiste.
Exemplo B3. Enquadremos \(\alpha\), solução de \(x^3 + x - 1 = 0\) em \([0;1]\), com amplitude \(0{,}25\).
\[ f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0 \]Logo \(\alpha \in ]0{,}5 ; 1[\).
\[ f(0{,}75) = 0{,}421875 + 0{,}75 - 1 = 0{,}171875 > 0 \]Logo \(\alpha \in ]0{,}5 ; 0{,}75[\), de amplitude \(0{,}25\).
B4. Função inversa
Se \(f\) é contínua e estritamente monótona num intervalo \(I\), então \(f\) é uma bijeção de \(I\) sobre \(J = f(I)\). Admite portanto uma função inversa \(f^{-1} : J \to I\), que é:
- contínua em \(J\);
- estritamente monótona em \(J\), no mesmo sentido que \(f\).
Para todo o \(x \in I\) e todo o \(y \in J\):
\[ f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \] \[ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]Num referencial ortonormado, as curvas de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricas relativamente à reta de equação \(y = x\).
Exemplo B4. Seja \(f(x) = x^2\) em \(I = [0;+\infty[\). \(f\) é contínua e estritamente crescente em \(I\), e \(f(I) = [0;+\infty[\). Logo \(f\) é uma bijeção de \([0;+\infty[\) sobre si mesmo, e
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y} \quad \text{para } y \geqslant 0 \]Em todo o \(\mathbb{R}\), \(f\) não é injetiva (\(f(-2) = f(2)\)): a restrição a \([0;+\infty[\) é indispensável.
B5. Raiz de índice \(n\)
Seja \(n \in \mathbb{N}^*\). A função \(x \mapsto x^n\) é contínua e estritamente crescente em \([0;+\infty[\), com imagem \([0;+\infty[\). A sua inversa é a raiz de índice \(n\):
\[ \sqrt[n]{\;} : [0;+\infty[ \;\to\; [0;+\infty[ \]Para \(x \geqslant 0\), \(\sqrt[n]{x}\) é o único real não negativo cuja potência de expoente \(n\) vale \(x\):
\[ y = \sqrt[n]{x} \iff y \geqslant 0 \text{ e } y^n = x \]Uma nota sobre o quadro escolhido. Para \(n\) ímpar, existe uma raiz de índice \(n\) definida em todo o \(\mathbb{R}\): por exemplo \(-2\) verifica \((-2)^3 = -8\), e pode legitimamente escrever-se \(\sqrt[3]{-8} = -2\) nesse quadro mais amplo.
Neste curso consideramos a restrição a \([0;+\infty[\), qualquer que seja \(n\). É uma convenção de apresentação, não uma impossibilidade: nesse intervalo, \(x \mapsto x^n\) é bijetiva para todo o \(n\), e as propriedades acima valem todas em simultâneo, o que deixa de acontecer se se misturarem expoentes pares e ímpares sobre \(\mathbb{R}\).
Para \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(n, m \in \mathbb{N}^*\):
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \;(b > 0) \] \[ \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]A função \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) é contínua em \([0;+\infty[\).
Exemplo B5. Simplifiquemos \(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}\):
\[ \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{216} = 6 \]Verificação: \(2 \times 3 = 6\).
B6. Potências racionais
Para \(a > 0\), \(p \in \mathbb{Z}\) e \(q \in \mathbb{N}^*\), pomos
\[ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \]Em particular \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\).
Para \(a > 0\), \(b > 0\) e \(r, s \in \mathbb{Q}\):
\[ a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs} \] \[ (ab)^r = a^r b^r, \qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r} \]Exemplo B6. Calculemos \(8^{\frac{2}{3}}\):
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]Ou \(8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\) — ambos os caminhos dão o mesmo resultado.
Resumo do capítulo
- Demonstrar a continuidade: funções usuais + operações + composição. A definição só intervém nos pontos de junção.
- Função por ramos: limite à direita = limite à esquerda = valor.
- Imagem de um intervalo fechado: \([m;M]\), e não \([f(a);f(b)]\), salvo se for monótona.
- Existência de uma solução: TVI, com a continuidade justificada.
- Unicidade: monotonia estrita, um argumento à parte.
- Inversa: contínua, estritamente monótona no mesmo sentido, curvas simétricas relativamente a \(y = x\).
Exemplos resolvidos
Nove situações escritas passo a passo. Procure cada etapa antes de a revelar.
Exemplo 1 — Continuidade de uma função definida por ramos
Seja
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{se } x \neq 2 \\ m & \text{se } x = 2 \end{cases} \]Determine \(m\) para que \(f\) seja contínua em \(2\).
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Etapa 1 — Calcular o limite. Para \(x \neq 2\):
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]Etapa 2 — Aplicar a definição. \(f\) contínua em \(2\) equivale a \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\), logo \(4 = m\).
Conclusão. \(m = 4\).
Exemplo 2 — Continuidade na junção dos ramos
Seja
\[ g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{se } x < 1 \\ ax + b & \text{se } x \geqslant 1 \end{cases} \]Sabemos que \(g\) é contínua em \(1\) e que \(g(3) = 8\). Determine \(a\) e \(b\).
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Etapa 1 — Continuidade em 1.
\[ \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} g(x) = a + b = g(1) \]A continuidade impõe \(a + b = 2\).
Etapa 2 — Usar \(g(3) = 8\). Como \(3 \geqslant 1\):
\[ 3a + b = 8 \]Etapa 3 — Resolver. Subtraindo: \(2a = 6\), logo \(a = 3\) e \(b = -1\).
Verificação. \(a + b = 2\) ✓ e \(3(3) - 1 = 8\) ✓
Exemplo 3 — Imagem de um intervalo
Seja \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) em \([0;3]\). Determine \(f([0;3])\).
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Etapa 1 — Continuidade. \(f\) é um polinómio, logo contínua em \([0;3]\). A sua imagem é um intervalo fechado \([m;M]\).
Etapa 2 — Variações. \(f'(x) = 2x - 4\), nula em \(x = 2\), negativa em \([0;2[\), positiva em \(]2;3]\). Logo \(f\) decresce e depois cresce: o mínimo é atingido em \(2\).
\[ f(2) = 4 - 8 + 1 = -3 \]Etapa 3 — Comparar os extremos.
\[ f(0) = 1, \qquad f(3) = 9 - 12 + 1 = -2 \]O máximo é \(\max(1; -2) = 1\).
Conclusão. \(f([0;3]) = [-3 ; 1]\).
Armadilha evitada. Responder \([f(0);f(3)] = [-2;1]\) seria errado: \(f\) não é monótona em \([0;3]\), e o mínimo \(-3\) é interior.
Exemplo 4 — Existência e unicidade de uma solução
Seja \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). Mostre que a equação \(f(x) = 0\) admite uma única solução \(\alpha\) em \(\mathbb{R}\), depois localize-a entre dois inteiros consecutivos.
Ver a resposta
Etapa 1 — Continuidade. \(f\) é um polinómio, logo contínua em \(\mathbb{R}\).
Etapa 2 — Monotonia estrita.
\[ f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0 \quad \text{para todo o } x \]Logo \(f\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\).
Etapa 3 — Limites nos extremos.
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]Portanto \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\), que contém \(0\).
Etapa 4 — Concluir. \(f\) é contínua e estritamente crescente de \(\mathbb{R}\) sobre \(\mathbb{R}\): é uma bijeção. A equação \(f(x) = 0\) admite por isso uma única solução \(\alpha\).
Etapa 5 — Localizar.
\[ f(1) = 1 + 3 - 5 = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 \]Logo \(1 < \alpha < 2\).
Exemplo 5 — Função inversa explícita
Seja \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) definida em \(I = ]1;+\infty[\). Mostre que \(f\) é uma bijeção de \(I\) sobre um intervalo \(J\) a determinar, e dê \(f^{-1}\) explicitamente.
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Etapa 1 — Continuidade. \(f\) é racional e o seu denominador não se anula em \(]1;+\infty[\): \(f\) é contínua em \(I\).
Etapa 2 — Monotonia.
\[ f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \]Logo \(f\) é estritamente decrescente em \(I\).
Etapa 3 — Imagem.
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]\(f\) decrescente e contínua em \(]1;+\infty[\) dá \(J = f(I) = ]2;+\infty[\).
Etapa 4 — Bijeção. Contínua e estritamente monótona: \(f\) é uma bijeção de \(]1;+\infty[\) sobre \(]2;+\infty[\).
Etapa 5 — Explicitar. Resolvamos \(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\):
\[ y(x-1) = 2x+1 \;\Longrightarrow\; yx - y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; x(y-2) = y+1 \] \[ x = \frac{y+1}{y-2} \]Logo \(f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{y-2}\) para \(y \in ]2;+\infty[\).
Verificação. \(f(3) = \frac{7}{2}\) e \(f^{-1}\!\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{9/2}{3/2} = 3\) ✓
Exemplo 6 — Forma \(\frac{0}{0}\): fatorizar
Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3}\).
Ver a pista
\(3\) anula os dois polinómios: é raiz de cada um.
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Exemplo 7 — Forma \(\frac{\infty}{\infty}\): maior grau
Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 - x}{5x^3 + 4x^2}\).
Ver a resolução
O resultado é o mesmo em \(-\infty\) e em \(+\infty\): para uma fração racional de graus iguais, o limite é o quociente dos coeficientes dominantes, qualquer que seja o lado.
Exemplo 8 — Forma \(\infty - \infty\): expressão conjugada
Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right)\).
Ver a pista
Multiplique e divida por \(\sqrt{x^2+3x}+x\).
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Para \(x > 0\), pusemos \(x\) em evidência no denominador.
Exemplo 9 — Composição: a condição que se esquece
Sabemos que \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b\) e \(\displaystyle\lim_{t \to b} v(t) = c\). Poderemos concluir que \(\displaystyle\lim_{x \to a}(v \circ u)(x) = c\)?
Ver a pista
Experimente com \(u\) constante igual a \(b\), e \(v\) descontínua em \(b\).
Ver a resolução
Em geral, não. Tomemos \(a=b=0\), \(u(x)=0\) para todo o \(x\), e
\[ v(t) = \begin{cases} 1 & \text{se } t \neq 0 \\ 5 & \text{se } t = 0 \end{cases} \]As duas hipóteses verificam-se, com \(c = 1\). No entanto \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) para todo o \(x\).
Quando \(b\) é finito, é preciso acrescentar uma destas duas condições:
- \(v\) é contínua em \(b\) — então \(c = v(b)\);
- \(u(x) \neq b\) numa vizinhança perfurada de \(a\).
Quando \(b\) é infinito, nenhuma condição suplementar é exigida.
Métodos mobilizados
- Exemplo 1 — Prolongamento por continuidade: calcular o limite, depois impô-lo como valor.
- Exemplo 2 — Continuidade na junção dos ramos: dois limites laterais, depois uso de uma condição suplementar. Um sistema com duas incógnitas.
- Exemplo 3 — Imagem de um intervalo fechado: justificar a continuidade, fazer o quadro de variações, comparar todos os valores candidatos. Nunca se contentar com os extremos.
- Exemplo 4 — Existência + unicidade: TVI e depois monotonia estrita, dois argumentos distintos. O enquadramento obtém-se calculando sinais.
- Exemplo 5 — Inversa: continuidade, monotonia, imagem, depois resolução algébrica de \(y = f(x)\) em ordem a \(x\).
Três erros a não repetir
- Escrever \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) sem ter estabelecido a monotonia.
- Concluir a unicidade a partir do TVI apenas.
- Esquecer de justificar a continuidade antes de invocar o TVI — é a hipótese do teorema.
Métodos mobilizados — exemplos 6 a 9
Exemplo 6 — Forma \(\frac{0}{0}\): fatorizar por \((x-a)\) no numerador e no denominador, depois simplificar para \(x \neq a\).
Exemplo 7 — Forma \(\frac{\infty}{\infty}\): pôr em evidência o termo de maior grau em cima e em baixo.
Exemplo 8 — Forma \(\infty - \infty\) com uma raiz: multiplicar pela expressão conjugada, depois pôr \(x\) em evidência.
Exemplo 9 — Composição: quando \(b\) é finito, verificar que \(v\) é contínua em \(b\) ou que \(u\) não toma o valor \(b\) perto de \(a\).
Dois erros a não repetir — parte dos limites
Escrever \(\infty-\infty = 0\) ou \(\frac{\infty}{\infty} = 1\): estas escritas não designam número nenhum.
Justificar uma mudança de variável apenas porque \(u(x)\) pertence ao domínio de \(v\): a condição é sobre a continuidade, ou sobre a vizinhança perfurada.
Exercícios interativos
Quatro níveis. Trabalhe cada questão no papel antes de revelar a resposta. As pistas servem para o desbloquear, não para substituir a procura.
Nível 1 — Aplicação direta
Exercício 1. Estude a continuidade em \(0\) de
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} & \text{se } x \neq 0, \; x > -1 \\ \dfrac{1}{2} & \text{se } x = 0 \end{cases} \]a) Simplifique a expressão de \(f(x)\) para \(x \neq 0\).
Ver a pista
Multiplique numerador e denominador por \(\sqrt{x+1}+1\).
Ver a resposta
Multipliquemos pela quantidade conjugada:
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]A simplificação por \(x\) é lícita porque \(x \neq 0\).
b) Deduza \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
Ver a resposta
A forma \(\frac{0}{0}\) inicial fica levantada: a expressão simplificada é contínua em \(0\).
c) Conclua sobre a continuidade de \(f\) em \(0\).
Ver a resposta
As três condições estão reunidas: \(f(0)\) existe, o limite existe, e os dois coincidem. Logo \(f\) é contínua em \(0\).
Exercício 2. Seja \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}\).
a) Determine o domínio de definição de \(h\).
Ver a resposta
A raiz impõe \(x \geqslant 0\). O denominador \(x^2+1\) nunca se anula pois \(x^2+1 \geqslant 1\). Logo \(D_h = [0;+\infty[\).
b) Justifique a continuidade do numerador e a do denominador.
Ver a resposta
\(x \mapsto \sqrt{x}\) é contínua em \([0;+\infty[\). \(x \mapsto x^2+1\) é um polinómio, logo contínua em \(\mathbb{R}\).
c) Conclua que \(h\) é contínua em \([0;+\infty[\).
Ver a resposta
O quociente de uma função contínua por uma função contínua que não se anula é contínuo. Como \(x^2+1 \geqslant 1 > 0\) em \([0;+\infty[\), \(h\) é contínua em \([0;+\infty[\).
Ponto de método. A condição a verificar não é «o denominador é contínuo», mas «o denominador não se anula».
Exercício 3. Cálculos de raízes e de potências racionais.
a) Calcule \(\sqrt[4]{16}\).
Ver a resposta
b) Calcule \(27^{\frac{1}{3}}\).
Ver a resposta
c) Calcule \(32^{\frac{2}{5}}\).
Ver a resposta
d) Que propriedade autoriza a escrita \(\left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = \sqrt[5]{32^2}\), e sob que condições?
Ver a resposta
Válida para \(x \geqslant 0\) quando \(m \in \mathbb{N}^{*}\), e para \(x > 0\) quando \(m \leqslant 0\). O par \(x = 0\), \(m = 0\) está excluído: conduziria a \(0^{0}\).
Aqui \(x = 32 > 0\) e \(m = 2\): as duas escritas são equivalentes.
Exercício 9. Limites usuais e operações.
a) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}\).
Ver a pista
Ponha \(x^2\) em evidência no numerador e no denominador.
Ver a resposta
b) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}\) e depois \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}\). Que se pode dizer de \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)?
Ver a resposta
Os dois limites existem mas são diferentes: \(\frac{1}{x}\) não tem limite em \(0\).
c) Mesma questão para \(\dfrac{1}{x^2}\). Explique a diferença.
Ver a resposta
O denominador \(x^2\) é estritamente positivo dos dois lados, ao passo que \(x\) muda de sinal. Tudo se joga no sinal do denominador.
d) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).
Ver a resposta
Reduzimos a \(\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1\) pondo \(t = 3x\).
Nível 2 — Raciocínio
Exercício 4. Seja \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).
a) Mostre que \(f(x) = 0\) admite uma solução em \([0;1]\).
Ver a resposta
\(f\) é um polinómio, logo contínua em \([0;1]\). Além disso:
\[ f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \]\(f(0) \cdot f(1) < 0\): pelo TVI, \(f\) anula-se pelo menos uma vez em \(]0;1[\).
b) Será esta solução única em \(\mathbb{R}\)?
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Não. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\) anula-se em \(-1\) e \(1\): \(f\) não é monótona em \(\mathbb{R}\).
\[ f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0, \qquad f(0) = 1 > 0, \qquad f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \]Três mudanças de sinal: a equação admite três soluções reais.
c) E a solução de \([0;1]\), será única nesse intervalo?
Ver a pista
Qual é o sinal de \(f'\) em \([0;1]\)?
Ver a resposta
Em \([0;1]\), \(f'(x) = 3(x-1)(x+1) \leqslant 0\), e só se anula em \(1\): \(f\) é estritamente decrescente em \([0;1]\).
A existência vem do TVI, e a monotonia estrita permite garantir a unicidade nesse intervalo. É toda a diferença com a questão b): a unicidade depende do intervalo onde nos colocamos.
d) Enquadre esta solução por bisseção, com uma amplitude de \(0{,}25\).
Ver a resposta
Intervalo inicial \([a_0;b_0] = [0;1]\), de amplitude \(1\).
Etapa 1 — \(m = 0{,}5\), \(f(0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 + 1 = -0{,}375 \neq 0\), de sinal contrário a \(f(0)\): o intervalo corrente passa a \([0;0{,}5]\).
Etapa 2 — \(m = 0{,}25\), \(f(0{,}25) \approx 0{,}266 \neq 0\), do mesmo sinal que \(f(0)\): o intervalo corrente passa a \([0{,}25;0{,}5]\).
Ao fim de \(k = 2\) etapas, a amplitude vale de facto:
\[ \frac{b_0 - a_0}{2^{k}} = \frac{1}{2^{2}} = 0{,}25 \]Se numa etapa \(f(m)\) fosse exatamente nulo, o algoritmo teria parado: \(m\) seria a solução exata.
Exercício 5. Seja \(f(x) = x^2 + 2x\) em \([-2;1]\).
a) Justifique que \(f([-2;1])\) é um intervalo fechado.
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\(f\) é um polinómio, logo contínua. A imagem de um intervalo fechado por uma função contínua é um intervalo fechado.
b) Estude as variações de \(f\) em \([-2;1]\).
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\(f'(x) = 2x + 2\), nula em \(x = -1\), negativa antes, positiva depois.
\(f\) decresce em \([-2;-1]\) e depois cresce em \([-1;1]\): não é monótona.
c) Deduza \(f([-2;1])\).
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Máximo \(= 3\). Logo \(f([-2;1]) = [-1;3]\).
Erro a evitar. Ler a imagem apenas nos extremos daria \([0;3]\): é falso, pois \(f\) não é monótona neste intervalo.
Exercício 6. Determine \(a\) e \(b\) para que
\[ f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{se } x \leqslant 0 \\ \dfrac{\sin(bx)}{x} & \text{se } x > 0 \end{cases} \]seja contínua em \(0\), com \(b \neq 0\).
a) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x)\) e \(f(0)\).
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Para \(x \leqslant 0\), \(f(x) = ax + 2\), logo \(f(0) = 2\) e
\[ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 2 \]b) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)\) em função de \(b\).
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Faça aparecer \(\dfrac{\sin(bx)}{bx}\).
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c) Conclua sobre \(a\) e sobre \(b\).
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A continuidade impõe a igualdade dos dois limites e de \(f(0)\), logo \(b = 2\).
O valor de \(a\) é qualquer: não intervém no limite à esquerda, que vale \(a \times 0 + 2 = 2\) independentemente de \(a\).
Ponto de método. Uma condição de junção nem sempre determina todos os parâmetros. É preciso verificar quais intervêm realmente.
Exercício 10. Formas indeterminadas.
a) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\).
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Forma \(\frac{0}{0}\) levantada por fatorização.
b) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)\).
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Multiplique pela expressão conjugada \(\sqrt{x^2+x} + x\).
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Forma \(\infty - \infty\) levantada pela quantidade conjugada.
c) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}\).
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Forma \(\frac{0}{0}\) reduzida a um produto em que um fator tende para \(0\).
d) Poderão duas formas \(\infty - \infty\) ter limites diferentes? Dê dois exemplos.
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Sim, e é todo o sentido da palavra «indeterminada».
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1) - x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big((x^2) - x\big) = +\infty \]Uma forma indeterminada não é um resultado: é o sinal de que a expressão deve ser transformada.
Nível 3 — Comparação e enquadramento
Exercício 11. Funções limitadas, comparação e enquadramento.
a) Enquadre \(\sin x\) para todo o real \(x\), depois enquadre \(\dfrac{\sin x}{x}\) para \(x > 0\).
Ver a resposta
Dividindo por \(x > 0\), o que não altera o sentido das desigualdades:
\[ -\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x} \]b) Deduza \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\).
Ver a resposta
Os dois majorantes \(-\frac{1}{x}\) e \(\frac{1}{x}\) tendem para \(0\) em \(+\infty\).
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]É o teorema do enquadramento: conclui porque os dois limites convergem para o mesmo valor finito.
c) A função \(x \mapsto \sin x\) é limitada. Terá limite em \(+\infty\)? Justifique.
Ver a pista
Observe os valores tomados em \(x = 2k\pi\) e em \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), para \(k\) inteiro a tender para infinito.
Ver a resposta
Não. Ponhamos \(x_k = 2k\pi\) e \(y_k = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
\[ \sin(x_k) = 0 \quad \text{e} \quad \sin(y_k) = 1 \quad \text{para todo o } k \]As duas sucessões tendem para \(+\infty\) mas os valores de \(\sin\) aí permanecem iguais a \(0\) e a \(1\) respetivamente. A função não pode, portanto, aproximar-se de nenhum valor único.
A reter. Ser limitada não basta para ter limite. O que faz convergir \(\frac{\sin x}{x}\) não é \(\sin\) ser limitada, é \(\frac{1}{x}\) tender para \(0\) e esmagar a oscilação.
d) Seja \(f\) tal que \(f(x) \geqslant x - \cos x\) para todo o \(x > 0\). Determine \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
Ver a resposta
Como \(\cos x \leqslant 1\), tem-se \(x - \cos x \geqslant x - 1\), logo
\[ f(x) \geqslant x - 1 \quad \text{para todo o } x > 0 \]Ora \(x - 1 \to +\infty\). Pelo teorema de comparação:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]Diferença com b). Aqui basta uma minoração, porque se empurra para \(+\infty\). O enquadramento exige dois limites e um limite finito.
Nível 4 — Aprofundamento
Exercício 7. Seja \(f\) contínua em \([0;1]\) tal que \(f(0) = 0\) e \(f(1) = 1\).
a) Procura-se \(c\) tal que \(f(c) = 1 - c\). Que função auxiliar introduzir?
Ver a resposta
Ponhamos \(g(x) = f(x) - 1 + x\). A equação \(f(c) = 1-c\) equivale a \(g(c) = 0\), o que reduz o problema a um anulamento.
\(g\) é contínua em \([0;1]\) como soma de funções contínuas.
b) Calcule \(g(0)\) e \(g(1)\).
Ver a resposta
c) Conclua e extraia o método geral.
Ver a resposta
Pelo TVI, existe \(c \in ]0;1[\) tal que \(g(c) = 0\), ou seja \(f(c) = 1 - c\).
Método a reter. Para uma equação da forma \(f(x) = \varphi(x)\), introduz-se \(g = f - \varphi\) e aplica-se o TVI a \(g\).
Note-se que nada se pode dizer da unicidade: \(f\) não é suposta monótona.
Exercício 8. Seja \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) em \([0;1]\).
a) Mostre que \(f\) é contínua e estritamente crescente em \([0;1]\).
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\(f\) é racional e \(x^2+1\) não se anula: \(f\) é contínua em \([0;1]\).
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]Em \([0;1[\), \(1 - x^2 > 0\) logo \(f' > 0\): \(f\) é estritamente crescente em \([0;1]\).
b) Deduza que \(f\) é uma bijeção de \([0;1]\) sobre um intervalo \(J\) a determinar.
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Contínua e estritamente crescente em \([0;1]\), \(f\) é uma bijeção de \([0;1]\) sobre \(J = \left[0 ; \tfrac{1}{2}\right]\).
c) Determine \(f^{-1}(y)\) para \(y \in J\).
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Resolva \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\) em ordem a \(x\): é uma equação do segundo grau.
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Resolvamos \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\):
\[ yx^2 - x + y = 0 \]Para \(y \neq 0\), o discriminante é \(\Delta = 1 - 4y^2 \geqslant 0\) pois \(y \leqslant \tfrac{1}{2}\). As raízes são
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4y^2}}{2y} \]Para \(0 < y < \tfrac{1}{2}\), tem-se \(\Delta = 1-4y^2 > 0\): as duas raízes são distintas. O seu produto vale \(\dfrac{y}{y} = 1\), logo uma está em \(]0;1[\) e a outra em \(]1;+\infty[\). Só o ramo com o sinal \(-\) pertence a \([0;1]\):
\[ f^{-1}(y) = \frac{1 - \sqrt{1-4y^2}}{2y} \qquad \left(0 < y < \tfrac{1}{2}\right) \]Nos dois extremos, o raciocínio anterior não se aplica e cada caso deve ser tratado separadamente.
- \(y = 0\): a equação \(yx^2 - x + y = 0\) torna-se \(-x = 0\). Deixa de ser do segundo grau, e a fórmula acima fica indefinida. A única solução é \(x = 0\), logo \(f^{-1}(0) = 0\).
- \(y = \tfrac{1}{2}\): então \(\Delta = 1 - 4 \times \tfrac14 = 0\). Os dois sinais dão o mesmo valor \(x = \dfrac{1}{2y} = 1\): já não há escolha a fazer, a raiz é dupla. Logo \(f^{-1}\!\left(\tfrac12\right) = 1\), o que é coerente com \(f(1) = \tfrac12\).
Ponto de rigor. Escrever «só o ramo \(-\) convém» só é exato enquanto \(\Delta > 0\). Em \(y = \tfrac12\) os dois ramos coincidem, e em \(y = 0\) a equação muda de natureza: os extremos de um intervalo merecem sempre um exame próprio.
Exercício 12. Limite de uma função composta.
a) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}}\) e justifique a passagem ao limite.
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Ponhamos \(t = \dfrac{4x^2+1}{x^2+3}\). Pondo \(x^2\) em evidência:
\[ \lim_{x \to +\infty} t = \frac{4}{1} = 4 \]A função \(t \mapsto \sqrt{t}\) é contínua em \(4\), com \(\sqrt{4}=2\): a passagem ao limite é lícita sem hipótese suplementar.
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}} = 2 \]b) Sejam \(u(x) = 0\) para todo o \(x\), e \(v\) definida por \(v(t) = 1\) se \(t \neq 0\), \(v(0) = 5\). Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 0} u(x)\), \(\displaystyle\lim_{t \to 0} v(t)\), e depois \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(v \circ u)(x)\).
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Mas \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) para todo o \(x\), logo
\[ \lim_{x \to 0} (v \circ u)(x) = 5 \neq 1 \]c) Que hipótese falta na questão b), e porque é que a questão a) não precisa dela?
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Quando \(b\) é finito, os dois limites não bastam. É preciso acrescentar, à escolha: que \(v\) seja contínua em \(b\), ou que \(u(x) \neq b\) numa vizinhança perfurada de \(a\).
Em b), \(u\) toma exatamente o valor \(b = 0\), precisamente onde \(v\) é descontínua: nenhuma das duas condições se verifica.
Em a), \(v = \sqrt{\;}\) é contínua em \(b = 4\): a primeira condição está satisfeita, nada mais há a verificar.
Ponto de método. Verificar que \(u(x)\) pertence ao domínio de \(v\) não basta para justificar uma mudança de variável num limite.
Grelha indicativa e pontos de método
| Exercício | Método-chave | Pontos |
|---|---|---|
| 1 | Quantidade conjugada, depois a definição de continuidade | 2 |
| 2 | Quociente de funções contínuas, denominador que não se anula | 2 |
| 3 | Raízes de índice \(n\) e potências racionais | 2 |
| 4 | TVI; contraexemplo à unicidade pelo sinal de \(f'\) | 3 |
| 5 | Imagem de um intervalo fechado pelo quadro de variações | 3 |
| 6 | Limites laterais; \(\lim \frac{\sin t}{t} = 1\) | 3 |
| 7 | Função auxiliar \(g = f - \varphi\), depois TVI | 2 |
| 8 | Bijeção, imagem, inversão algébrica, escolha da raiz | 3 |
Remediação dirigida
- Exercícios 1, 2 ou 3 falhados → voltar ao Curso essencial, secções A1 a A5, depois exemplos resolvidos 1 e 2.
- Exercício 4 ou 5 falhado → rever A7 e B1, depois o exemplo 3. O erro é quase sempre \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) aplicado sem monotonia.
- Exercício 6 falhado → rever A2 e os limites trigonométricos do 1.º ano.
- Exercícios 7 ou 8 falhados → rever B2 e B4, depois o exemplo 5.
Respostas curtas
- 1. Contínua em \(0\).
- 2. Contínua em \([0;+\infty[\).
- 3. \(2\); \(3\); \(4\).
- 4. a) TVI em \([0;1]\). b) Não, três soluções.
- 5. \([-1;3]\).
- 6. \(b = 2\), \(a\) qualquer.
- 7. Pôr \(g(x) = f(x) - 1 + x\).
- 8. \(J = \left[0;\tfrac12\right]\); \(f^{-1}(y) = \dfrac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2y}\).
Grelha indicativa e pontos de método — exercícios 9 a 12
Exercício 9 — Limites usuais, sinal do denominador, limite trigonométrico. 4 pontos.
Exercício 10 — As quatro formas indeterminadas e as técnicas que as levantam. 4 pontos.
Exercício 11 — Enquadramento, comparação, e o contraexemplo da função limitada sem limite. 4 pontos.
Exercício 12 — Composição: condição de continuidade ou de vizinhança perfurada. 3 pontos.
Remediação dirigida — parte dos limites
Se o exercício 9 b) ou c) resistir: rever o sinal do denominador quando tende para \(0\), e retomar o exemplo 1 do curso.
Se o exercício 10 resistir: retomar o método «Levantar uma forma indeterminada» do curso, técnica a técnica, antes de refazer os exemplos 6 a 8.
Se o exercício 11 c) resistir: reter que ser limitada não dá limite nenhum, e que o enquadramento exige dois limites que convirjam para o mesmo valor finito.
Se o exercício 12 c) resistir: refazer o exemplo 9, que trata exatamente deste ponto.
Respostas curtas — exercícios 9 a 12
9 a) \(\frac{3}{2}\) — b) \(+\infty\) e \(-\infty\), sem limite — c) \(+\infty\) — d) \(3\).
10 a) \(4\) — b) \(\frac{1}{2}\) — c) \(0\) — d) \(1\) e \(+\infty\).
11 a) \(-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}\) — b) \(0\) — c) não — d) \(+\infty\).
12 a) \(2\) — b) \(0\), \(1\), depois \(5\) — c) continuidade em \(b\), ou vizinhança perfurada.
Modo exame
Prova 1 — Continuidade
Prova de \(1\) hora, \(20\) pontos. Sem consulta. Resolva os três exercícios pela ordem que quiser, redigindo integralmente.
Exercício I — Continuidade e junção de ramos (6 pontos)
Seja
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} & \text{se } x > 2 \\ ax + 1 & \text{se } x \leqslant 2 \end{cases} \]- 1. Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\). (2 pontos)
- 2. Determine \(a\) para que \(f\) seja contínua em \(2\). (2 pontos)
- 3. Com esse valor de \(a\), justifique que \(f\) é contínua em \(\mathbb{R}\). (2 pontos)
Exercício II — TVI e bisseção (7 pontos)
Seja \(g(x) = x^3 + x^2 - 2\).
- 1. Justifique que \(g\) é contínua em \(\mathbb{R}\). (1 ponto)
- 2. Calcule \(g(0)\) e \(g(2)\), e mostre que \(g(x) = 0\) tem uma solução em \([0;2]\). (2 pontos)
- 3. Estude o sinal de \(g'\) em \([0;2]\) e deduza a unicidade dessa solução \(\alpha\). (2 pontos)
- 4. Enquadre \(\alpha\) com uma amplitude de \(0{,}5\) por bisseção. (2 pontos)
Exercício III — Bijeção e inversa (7 pontos)
Seja \(h(x) = \sqrt{2x + 3}\) em \(I = \left[-\tfrac{3}{2} ; +\infty\right[\).
- 1. Justifique que \(h\) é contínua em \(I\). (2 pontos)
- 2. Estude a monotonia de \(h\) em \(I\). (2 pontos)
- 3. Determine \(J = h(I)\). (1 ponto)
- 4. Mostre que \(h\) é uma bijeção de \(I\) sobre \(J\) e dê \(h^{-1}\) explicitamente. (2 pontos)
Conselho de gestão do tempo. Cerca de \(15\) minutos para o Exercício I, \(20\) para o II, \(20\) para o III, e \(5\) minutos de releitura. Em cada questão que invoque um teorema, verifique que escreveu as suas hipóteses.
Prova 2 — Limites e continuidade
Prova de \(1\) hora, \(20\) pontos. Sem consulta. Resolva os três exercícios pela ordem que quiser, redigindo integralmente.
Exercício I — Cálculo de limites (6 pontos)
1. Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}\). (2 pontos)
2. Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+4x} - x\right)\). (2 pontos)
3. Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x}\). (2 pontos)
Exercício II — Enquadramento e comparação (7 pontos)
Seja \(f\) definida em \(]0;+\infty[\) por \(f(x) = \dfrac{2 + \cos x}{x}\).
1. Mostre que \(\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{3}{x}\) para todo o \(x > 0\). (3 pontos)
2. Deduza \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (2 pontos)
3. Seja \(g(x) = x + \sin x\). Mostre que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). (2 pontos)
Exercício III — Prolongamento por continuidade (7 pontos)
Seja \(h(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}\) definida em \(]1;+\infty[\).
1. Determine \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} h(x)\). (2 pontos)
2. Será \(h\) prolongável por continuidade em \(1\)? Se sim, dê o seu prolongamento \(\tilde h\). (3 pontos)
3. Seja \(k(x) = \sqrt{h(x) + 3}\). Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} k(x)\), justificando a passagem ao limite. (2 pontos)
Modo exame — resoluções
Exercício I (6 pontos)
1. Para \(x > 2\), fatorizemos o numerador. \(x^2 - x - 2\) tem raízes \(2\) e \(-1\), logo
\[ \frac{x^2-x-2}{x-2} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1 \] \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \]2. À esquerda, \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + 1 = f(2)\). A continuidade em \(2\) impõe
\[ 2a + 1 = 3 \;\Longrightarrow\; a = 1 \]3. Com \(a = 1\): em \(]-\infty;2]\), \(f(x) = x+1\) é um polinómio logo contínua; em \(]2;+\infty[\), \(f(x) = x+1\) também. Em \(2\), a continuidade ficou estabelecida na questão 2. Logo \(f\) é contínua em \(\mathbb{R}\) — e de facto é igual a \(x+1\) em toda a parte.
Exercício II (7 pontos)
1. \(g\) é um polinómio, logo contínua em \(\mathbb{R}\).
2.
\[ g(0) = -2 < 0, \qquad g(2) = 8 + 4 - 2 = 10 > 0 \]\(g\) é contínua em \([0;2]\) e \(g(0) \cdot g(2) < 0\): pelo TVI, \(g\) anula-se pelo menos uma vez em \(]0;2[\).
3.
\[ g'(x) = 3x^2 + 2x = x(3x+2) \]Em \(]0;2]\), \(x > 0\) e \(3x + 2 > 0\) logo \(g' > 0\): \(g\) é estritamente crescente em \([0;2]\). A solução \(\alpha\) é portanto única.
4. Bisseção:
\[ g(1) = 1 + 1 - 2 = 0 \]A solução é atingida exatamente: \(\alpha = 1\). O enquadramento pedido é portanto imediato, \(\alpha \in [1;1]\).
Observação. Um aluno que prossiga a bisseção sem reparar que \(g(1) = 0\) não é penalizado se o enquadramento obtido estiver correto.
Exercício III (7 pontos)
1. Ponhamos \(u(x) = 2x+3\), um polinómio logo contínua em \(I\), e \(v(t) = \sqrt{t}\), contínua em \([0;+\infty[\). Para \(x \geqslant -\tfrac{3}{2}\), \(u(x) \geqslant 0\), logo \(u(I) \subset [0;+\infty[\). Por composição, \(h = v \circ u\) é contínua em \(I\).
2. \(u\) é estritamente crescente e \(v\) é estritamente crescente em \([0;+\infty[\): a composta \(h\) é estritamente crescente em \(I\).
Ou por cálculo, em \(\left]-\tfrac32;+\infty\right[\):
\[ h'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0 \]3.
\[ h\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty \]\(h\) contínua e estritamente crescente em \(I\) dá \(J = h(I) = [0;+\infty[\).
4. Contínua e estritamente monótona: \(h\) é uma bijeção de \(I\) sobre \(J\). Para \(y \geqslant 0\):
\[ y = \sqrt{2x+3} \;\Longrightarrow\; y^2 = 2x+3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{y^2-3}{2} \] \[ h^{-1}(y) = \frac{y^2 - 3}{2} \quad \text{para } y \in [0;+\infty[ \]Verificação. \(h(3) = \sqrt{9} = 3\) e \(h^{-1}(3) = \frac{9-3}{2} = 3\) ✓
Como ler a sua nota
- 16 a 20 — Capítulo dominado. Passe ao capítulo seguinte.
- 11 a 15 — Bases assentes. Refaça os exercícios de nível 3.
- 6 a 10 — Reveja a Parte C do Curso essencial, depois os exemplos 4 e 5.
- 0 a 5 — Recomece o capítulo a partir da Parte B, e refaça o diagnóstico da Página inicial.
Erros mais frequentes
- Exercício I.3: esquecer de tratar os dois ramos e o ponto de junção.
- Exercício II.3: concluir a unicidade sem estudar o sinal de \(g'\).
- Exercício III.1: invocar a composição sem verificar \(u(I) \subset [0;+\infty[\).
- Exercício III.4: dar \(h^{-1}\) sem indicar o seu domínio de definição.
Prova 2 — resoluções
Exercício I (6 pontos)
1. O número \(1\) anula os dois polinómios:
\[ \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1) \] \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{2}{-1} = -2 \]2. Quantidade conjugada:
\[ \sqrt{x^2+4x} - x = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1} \longrightarrow 2 \]3. Fazer aparecer \(\dfrac{\sin t}{t}\):
\[ \frac{\sin(5x)}{2x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \longrightarrow \frac{5}{2} \]Exercício II (7 pontos)
1. Para todo o real \(x\), \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\), logo \(1 \leqslant 2+\cos x \leqslant 3\). Dividindo por \(x > 0\), o que não inverte as desigualdades:
\[ \frac{1}{x} \leqslant \frac{2+\cos x}{x} \leqslant \frac{3}{x} \]2. Os dois limites tendem para \(0\) em \(+\infty\). Pelo teorema do enquadramento:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \]3. Como \(\sin x \geqslant -1\), tem-se \(g(x) \geqslant x - 1\) para todo o \(x\). Ora \(x-1 \to +\infty\). Por comparação:
\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]Basta aqui uma minoração, porque se empurra para \(+\infty\).
Exercício III (7 pontos)
1. O numerador \(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\) anula-se também em \(1\). Após simplificação, lícita pois \(x \neq 1\):
\[ h(x) = x - 2 \qquad \text{logo} \qquad \lim_{x \to 1^{+}} h(x) = -1 \]O limite é finito: o denominador anula-se, mas não há divergência nenhuma, ao contrário do que a forma da escrita fazia recear.
2. O limite existe e é finito: \(h\) é prolongável por continuidade em \(1\), e o prolongamento é único:
\[ \tilde h(x) = \begin{cases} h(x) & \text{se } x > 1 \\ -1 & \text{se } x = 1 \end{cases} \]O valor \(-1\) não é escolhido: é imposto pelo limite.
3. Tem-se \(h(x) + 3 \to -1 + 3 = 2\) quando \(x \to 1^{+}\). A função \(t \mapsto \sqrt{t}\) é contínua em \(2\): a passagem ao limite na composta é lícita sem hipótese suplementar.
\[ \lim_{x \to 1^{+}} k(x) = \sqrt{2} \]Como ler a sua nota — Prova 2
16 a 20 — os limites estão seguros, incluindo os casos armadilhados.
11 a 15 — as técnicas são conhecidas, falta cuidar das justificações.
6 a 10 — rever as formas indeterminadas e o enquadramento antes de prosseguir.
0 a 5 — voltar à Parte A do curso — os limites — e aos exemplos 6 a 9.
Erros mais frequentes — Prova 2
Concluir que há divergência assim que o denominador se anula, sem verificar se o numerador também se anula — Exercício III questão 1.
Dividir um enquadramento por \(x\) sem indicar que \(x > 0\): com \(x < 0\), as desigualdades inverter-se-iam.
Usar o teorema do enquadramento para concluir um limite infinito: o enquadramento dá um limite finito; para o infinito é a comparação, e basta um só limite.