Continuité d'une fonction numérique — 2BAC PC / SVT
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Mohamed Lagzouli
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Ce parcours couvre le premier chapitre du programme de 2BAC Sciences Physiques et SVT. Il est conçu pour être suivi dans l'ordre : chaque notion de la Partie C utilise les résultats des Parties A et B.
Comment travailler ce parcours
- Lisez une notion, puis traitez son exemple avant de passer à la suivante.
- Cherchez chaque réponse avant de l'afficher — c'est là que l'apprentissage se fait.
- Revenez au Cours essentiel dès qu'un exercice résiste.
Diagnostic : où en êtes-vous ?
Six questions sur les prérequis. Répondez d'abord, affichez ensuite. Si trois réponses ou plus vous manquent, revoyez les limites de 1BAC avant d'attaquer la Partie A.
1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)\).
Voir la réponse
Un polynôme : on remplace directement.
2. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\).
Voir la réponse
Forme indéterminée \(\frac{0}{0}\). On factorise :
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1) \]Donc la limite vaut \(2\).
3. Que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}\) ? Et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}\) ?
Voir la réponse
Les deux limites diffèrent : la limite en \(0\) n'existe pas.
4. Donner le domaine de définition de \(g(x) = \sqrt{x - 3}\).
Voir la réponse
Il faut \(x - 3 \geqslant 0\), soit \(D_g = [3 ; +\infty[\).
5. Une fonction strictement croissante sur \([a;b]\) peut-elle prendre deux fois la même valeur ?
Voir la réponse
Non. Si \(x_1 < x_2\) alors \(f(x_1) < f(x_2)\) : deux points distincts ont des images distinctes. Cette remarque sera l'argument d'unicité dans tout le chapitre.
6. Traduire : « la courbe de \(f\) se trace sans lever le crayon sur \([0;1]\) ».
Voir la réponse
\(f\) est continue sur \([0;1]\). C'est une image visuelle correcte, mais elle ne constitue pas une démonstration : en 2BAC, la continuité s'établit par la définition ou par les théorèmes d'opérations.
Objectif du chapitre. Passer de « la courbe a l'air continue » à « je démontre que \(f\) est continue, puis j'en tire une conclusion ».
Question 7. Vrai ou faux : si \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 1\), alors \(f\) admet une limite en \(1\).
Voir la réponse
Faux. Les deux limites existent mais diffèrent.
La limite en un point n'existe que si les limites à droite et à gauche sont égales. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Question 8. Que vaut \(\infty - \infty\) ?
Voir la réponse
Cela ne vaut rien du tout. C'est une forme indéterminée.
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1)-x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big(x^2-x\big) = +\infty \]Deux expressions de même forme, deux résultats différents : il faut transformer l'écriture avant de conclure.
Question 9. La fonction \(x \mapsto \sin x\) est bornée. Admet-elle une limite en \(+\infty\) ?
Voir la réponse
Non. Être bornée ne suffit pas à avoir une limite.
\(\sin(2k\pi) = 0\) et \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) = 1\) : la fonction ne se rapproche d'aucune valeur unique.
Aperçu gratuit
Voici la notion centrale du chapitre et son application la plus utile. Le parcours complet détaille chaque point avec ses exemples.
Continuité en un point. Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]Trois conditions sont donc réunies : \(f(a)\) existe, la limite existe, et les deux coïncident. Si l'une manque, \(f\) n'est pas continue en \(a\).
Exemple. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) pour \(x \neq 2\) et \(f(2) = 4\). Étudions la continuité en \(2\).
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2) \]Donc \(f\) est continue en \(2\).
Théorème des valeurs intermédiaires. Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution dans \([a;b]\).
Trois questions pour tester
1. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\) et \(f(3) = 5\). \(f\) est-elle continue en \(3\) ?
Voir la réponse
Non. \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = 6\) alors que \(f(3) = 5\). La limite existe, la valeur existe, mais elles diffèrent.
2. \(f\) est continue sur \([0;3]\), \(f(0) = -2\) et \(f(3) = 7\). Que peut-on affirmer ?
Voir la réponse
Comme \(0\) est compris entre \(-2\) et \(7\), l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([0;3]\). Sans hypothèse de monotonie, on ne peut rien dire de l'unicité.
3. Pourquoi ne peut-on pas appliquer le TVI à \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \([-1;1]\) ?
Voir la réponse
\(f\) n'est pas définie en \(0\), donc pas continue sur \([-1;1]\). L'hypothèse du théorème n'est pas vérifiée : la conclusion tombe. D'ailleurs \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\), mais \(f\) ne s'annule jamais.
À retenir. Le TVI donne l'existence. L'unicité demande un argument supplémentaire : la monotonie stricte. C'est l'objet du corollaire, traité dans la Partie C.
Une limite qui se calcule après transformation
Que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) ?
Le calcul direct donne \(\frac{0}{0}\) : une forme indéterminée, qui n'est pas un résultat mais un signal.
Voir la réponse
On factorise le numérateur :
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4 \]La fonction n'est pas définie en \(2\), mais la limite y est finie : on peut la prolonger par continuité en posant \(f(2) = 4\).
Le parcours complet traite les limites puis la continuité, avec dix exemples guidés, treize exercices et deux sujets d'examen corrigés.
Cours essentiel
Partie A — Limites d'une fonction numérique
L1. Les quatre situations de limite
Limite finie en un point
Soit \(f\) définie sur un intervalle ouvert contenant \(a\), sauf peut-être en \(a\). On dit que \(f\) admet \(\ell\) pour limite en \(a\) lorsque les valeurs \(f(x)\) deviennent aussi proches que l'on veut de \(\ell\) dès que \(x\) est assez proche de \(a\).
Limite à droite et limite à gauche
La limite en \(a\) existe si et seulement si ces deux limites existent et sont égales.
C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Pour \(f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}\), on a \(\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-1\) et \(\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1\) : les deux limites existent, elles diffèrent, donc \(f\) n'a pas de limite en \(1\).
Limite infinie en un point
On dit que \(f\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(a\) lorsque \(f(x)\) dépasse tout nombre fixé à l'avance, aussi grand soit-il, dès que \(x\) est assez proche de \(a\). On note :
Attention au vocabulaire : on dit que la limite est infinie, mais la fonction n'admet alors aucune limite finie. L'infini n'est pas un nombre.
Exemple 1 — une limite infinie, et le rôle du signe
Étudier le comportement de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) puis de \(g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\) en \(0\).
Voir la résolution
Pour \(g\), le dénominateur \(x^{2}\) est strictement positif de part et d'autre de \(0\) :
Pour \(f\), le dénominateur change de signe :
Les deux limites diffèrent : \(f\) n'a pas de limite en \(0\), alors que \(g\) en a une. Tout se joue sur le signe du dénominateur.
Limite à l'infini
On étudie ici le comportement de \(f(x)\) quand \(x\) devient très grand en valeur absolue.
Une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\) signifie que la courbe se rapproche indéfiniment de la droite horizontale \(y=\ell\) sans nécessairement l'atteindre.
Limites usuelles
| Fonction (\(n\in\mathbb{N}^{*}\)) | En \(0^{+}\) | En \(+\infty\) | En \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^{n}\), \(n\) pair | \(0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^{n}\), \(n\) impair | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\dfrac{1}{x^{n}}\) | \(+\infty\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(0\) | \(+\infty\) | non définie |
Deux limites trigonométriques à connaître :
L2. Règles de calcul
Somme de deux limites
On note \(\ell\) et \(\ell'\) des limites finies.
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f+g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell+\ell'\) |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | indéterminée |
Produit de deux limites
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f\times g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell\ell'\) |
| \(\ell>0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell<0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | règle des signes |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | indéterminée |
Quotient de deux limites
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim \frac{f}{g}\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) |
| \(\ell\neq 0\) | \(0^{+}\) ou \(0^{-}\) | \(\pm\infty\) selon les signes |
| \(\ell\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\ell'\neq 0\) | \(\pm\infty\) selon les signes |
| \(0\) | \(0\) | indéterminée |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | indéterminée |
Quand le dénominateur tend vers \(0\), le signe par lequel il s'annule décide du résultat. C'est la raison pour laquelle on étudie toujours les limites à droite et à gauche séparément dans ce cas.
Les quatre formes indéterminées :
Aucune de ces écritures ne vaut \(0\), ni \(1\), ni \(\infty\). Elles signalent seulement que le calcul direct échoue et qu'il faut transformer l'expression. Deux formes indéterminées de même type peuvent donner des résultats différents.
Lever une forme indéterminée
- \(\frac{0}{0}\) polynomiale : factoriser par \((x-a)\) au numérateur et au dénominateur.
- \(\frac{\infty}{\infty}\) rationnelle : mettre en facteur le terme de plus haut degré.
- \(\infty-\infty\) avec racines : multiplier par l'expression conjuguée.
- \(0\times\infty\) : se ramener à un quotient.
Exemple 2 — forme \(\frac{0}{0}\)
Voir la résolution
Le numérateur et le dénominateur s'annulent en \(2\). On factorise :
Exemple 3 — forme \(\frac{\infty}{\infty}\)
Voir l'indication
Mettre \(x^{2}\) en facteur en haut et en bas.
Voir la résolution
Chaque terme en \(\frac{1}{x}\) ou \(\frac{1}{x^{2}}\) tend vers \(0\), d'où :
Exemple 4 — forme \(\infty-\infty\)
Voir l'indication
Multiplier et diviser par l'expression conjuguée \(\sqrt{x^{2}+x}+x\).
Voir la résolution
Pour \(x>0\), on met \(x\) en facteur au dénominateur :
L3. Limite d'une fonction composée
Limite d'une composée
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) finis ou infinis, et supposons
Ces deux hypothèses ne suffisent pas lorsque \(b\) est fini. Il faut y ajouter l'une des deux conditions suivantes.
Premier cas — \(b\) est infini. Rien à ajouter :
Deuxième cas — \(b\) est fini et \(v\) est continue en \(b\). Alors \(c=v(b)\) et la conclusion vaut sans autre hypothèse.
Troisième cas — \(b\) est fini et \(v\) n'est pas supposée continue en \(b\). Il faut alors que \(u(x)\neq b\) sur un voisinage pointé de \(a\), c'est-à-dire pour tout \(x\) proche de \(a\) mais différent de \(a\).
En pratique, on pose \(t=u(x)\) : c'est un changement de variable. Il faut aussi vérifier que \(u(x)\) appartient au domaine de \(v\) au voisinage de \(a\), mais cette vérification seule ne suffit pas à justifier le passage à la limite.
Voici pourquoi la troisième condition est indispensable. Prenons :
On a bien \(\lim_{x\to 0}u(x)=0\) et \(\lim_{t\to 0}v(t)=1\). Pourtant \((v\circ u)(x)=v(0)=5\) pour tout \(x\), donc la composée tend vers \(5\), et non vers \(1\).
La raison est que \(u\) prend exactement la valeur \(b=0\), là où \(v\) est discontinue. Dans l'exemple 5 ci-dessous, le problème ne se pose pas : \(v=\sqrt{\;}\) est continue en \(4\), nous sommes dans le deuxième cas.
Exemple 5 — changement de variable
Voir la résolution
On pose \(t=\dfrac{4x^{2}+1}{x^{2}+3}\). En mettant \(x^{2}\) en facteur :
La fonction \(t\mapsto\sqrt{t}\) est continue en \(4\), avec \(\sqrt{4}=2\) : nous sommes dans le deuxième cas du théorème, aucune hypothèse supplémentaire n'est requise. Donc :
L4. Limites et ordre
Théorème de comparaison
Soient \(f\) et \(g\) telles que \(f(x)\leqslant g(x)\) au voisinage de \(a\).
- Si \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\), alors \(\lim_{x\to a} g(x)=+\infty\).
- Si \(\lim_{x\to a} g(x)=-\infty\), alors \(\lim_{x\to a} f(x)=-\infty\).
Une seule minoration suffit pour pousser vers \(+\infty\) ; une seule majoration pour pousser vers \(-\infty\).
Théorème d'encadrement
Soient \(f\), \(g\), \(h\) définies au voisinage de \(a\), telles que \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) sur ce voisinage. Si \(g\) et \(h\) ont la même limite finie \(\ell\) en \(a\), alors \(f\) admet \(\ell\) pour limite en \(a\).
Exemple 6 — encadrement avec sinus
Voir l'indication
Partir de \(-1\leqslant \sin x\leqslant 1\) et diviser par \(x>0\).
Voir la résolution
Pour tout \(x>0\) :
Les deux bornes tendent vers \(0\) en \(+\infty\), donc :
Une fonction bornée n'a pas nécessairement de limite : \(x\mapsto \sin x\) est bornée et n'admet aucune limite en \(+\infty\). L'encadrement ne conclut que si les deux bornes convergent vers la même valeur.
Partie B — Continuité
A1. Continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]Dans le cas contraire, \(f\) est discontinue en \(a\).
La définition exige trois choses : que \(a\) appartienne au domaine, que la limite existe et soit finie, et que les deux valeurs soient égales. Une discontinuité peut donc venir de trois causes distinctes.
Exemple A1. Soit \(f(x) = 3x - 1\). En \(a = 2\) :
\[ \lim_{x \to 2} (3x-1) = 5 \quad \text{et} \quad f(2) = 5 \]Donc \(f\) est continue en \(2\).
Exemple A1'. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{x-1}\) pour \(x \neq 1\) et \(g(1) = 0\). En \(a = 1\) :
\[ \lim_{x \to 1^+} g(x) = +\infty \]La limite n'est pas finie : \(g\) est discontinue en \(1\).
A2. Continuité à droite, continuité à gauche
\(f\) est continue à droite en \(a\) si
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \]\(f\) est continue à gauche en \(a\) si
\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]\(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(a\) :
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]Ce critère est l'outil de référence pour les fonctions définies par morceaux : on étudie séparément chaque côté du point de raccordement.
Exemple A2. Soit
\[ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \leqslant 1 \\ 3 - x & \text{si } x > 1 \end{cases} \]Étude en \(a = 1\) :
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 - 1 = 2, \qquad f(1) = 2 \]Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en \(1\).
A3. Continuité sur un intervalle
\(f\) est continue sur un intervalle ouvert \(]a;b[\) si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
\(f\) est continue sur \([a;b]\) si elle est continue sur \(]a;b[\), continue à droite en \(a\) et continue à gauche en \(b\).
Aux bornes d'un intervalle fermé, seule la continuité du côté intérieur a un sens — c'est pourquoi la définition les traite à part.
A4. Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine :
- les fonctions polynômes, sur \(\mathbb{R}\) ;
- les fonctions rationnelles, sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ;
- \(x \mapsto \sqrt{x}\), sur \([0;+\infty[\) ;
- \(x \mapsto \sin x\) et \(x \mapsto \cos x\), sur \(\mathbb{R}\) ;
- \(x \mapsto \tan x\), sur tout intervalle ne contenant pas \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) ;
- \(x \mapsto |x|\), sur \(\mathbb{R}\).
Conséquence pratique. On ne revient presque jamais à la définition. On identifie la fonction comme usuelle, ou comme construite à partir d'usuelles par les opérations du A5.
🎬 Vidéo explicative — ressource externe
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A5. Opérations sur les fonctions continues
Soient \(f\) et \(g\) continues en \(a\), et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :
- \(f + g\) est continue en \(a\) ;
- \(\lambda f\) est continue en \(a\) ;
- \(f \times g\) est continue en \(a\) ;
- \(\dfrac{f}{g}\) est continue en \(a\) si \(g(a) \neq 0\) ;
- \(|f|\) est continue en \(a\) ;
- \(\sqrt{f}\) est continue en \(a\) si \(f(a) \geqslant 0\) et \(f \geqslant 0\) au voisinage de \(a\).
Exemple A5. Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\). Sur \(]3;+\infty[\) : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, donc continus ; le dénominateur ne s'annule pas. Donc \(h\) est continue sur \(]3;+\infty[\). Même argument sur \(]-\infty;3[\).
A6. Continuité de la composée
Si \(u\) est continue en \(a\) et \(v\) continue en \(u(a)\), alors \(v \circ u\) est continue en \(a\).
Si \(u\) est continue sur \(I\), \(u(I) \subset J\) et \(v\) continue sur \(J\), alors \(v \circ u\) est continue sur \(I\).
Exemple A6. Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). Posons \(u(x) = x^2 + 1\) et \(v(t) = \sqrt{t}\). \(u\) est continue sur \(\mathbb{R}\), et \(u(x) \geqslant 1 > 0\) donc \(u(\mathbb{R}) \subset [1;+\infty[\) où \(v\) est continue. Donc \(f = v \circ u\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
A7. Image d'un intervalle, image d'un segment
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors \(f(I)\) est un intervalle.
Si \(f\) est continue sur un segment \([a;b]\), alors \(f([a;b])\) est un segment \([m;M]\), où \(m\) est le minimum et \(M\) le maximum de \(f\) sur \([a;b]\). En particulier, \(f\) est bornée et atteint ses bornes.
Attention. \(f([a;b]) = [m;M]\) — pas \([f(a);f(b)]\). L'égalité \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) n'est valable que si \(f\) est continue et croissante sur \([a;b]\).
Exemple A7. Soit \(f(x) = x^2\) sur \([-1;2]\). \(f(-1) = 1\) et \(f(2) = 4\), mais \(f([-1;2]) = [0;4]\) : le minimum \(0\) est atteint en \(x = 0\), à l'intérieur du segment. L'intervalle \([1;4]\) serait une réponse fausse.
Cas monotone. Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), l'image se lit aux bornes :
- \(f\) croissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) ;
- \(f\) décroissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(b);f(a)]\) ;
- \(f\) croissante sur \([a;b[\) : \(f([a;b[) = \left[f(a); \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\).
🎬 Vidéo explicative — ressource externe
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A8. Prolongement par continuité
Soit \(f\) définie sur \(I \setminus \{a\}\), où \(I\) est un intervalle contenant \(a\). La fonction \(f\) n'est donc pas définie en \(a\), et la question de sa continuité en ce point ne se pose pas telle quelle.
On dit que \(f\) est prolongeable par continuité en \(a\) lorsque \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) existe et est finie. En notant \(\ell\) cette limite, on pose alors :
\[ \tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in I \setminus \{a\} \\ \ell & \text{si } x = a \end{cases} \]La fonction \(\tilde f\) ainsi définie est continue en \(a\) : c'est le prolongement par continuité de \(f\).
Deux conditions, et aucune n'est facultative.
- La limite doit exister : si les limites à droite et à gauche diffèrent, aucun prolongement n'est possible.
- Elle doit être finie : une limite infinie interdit tout prolongement, puisqu'on ne peut pas poser \(\tilde f(a) = +\infty\).
Quand elles sont réunies, la valeur \(\ell\) est imposée : le prolongement existe et il est unique. On ne choisit pas \(\tilde f(a)\).
Exemple. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Est-elle prolongeable par continuité en \(2\) ?
Pour \(x \neq 2\), on factorise :
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]La limite existe et elle est finie : \(f\) est prolongeable par continuité en \(2\), en posant \(\tilde f(2) = 4\).
Contre-exemple. Pour \(g(x) = \dfrac{1}{x-2}\), on a \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} g(x) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = -\infty\). Ni l'existence ni la finitude ne sont acquises : \(g\) n'est prolongeable par continuité en \(2\) d'aucune manière.
La notion rejoint A1 : prolonger, c'est précisément ajouter la valeur manquante pour que les trois conditions de la continuité en un point soient enfin réunies.
Partie C — Théorèmes fondamentaux
B1. Théorème des valeurs intermédiaires
TVI. Soit \(f\) continue sur \([a;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c \in [a;b]\) tel que \(f(c) = k\).
Cas particulier. Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(]a;b[\).
Exemple B1. Montrons que \(x^3 + x - 1 = 0\) admet une solution dans \([0;1]\). Posons \(f(x) = x^3 + x - 1\), continue sur \(\mathbb{R}\) comme polynôme.
\[ f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0 \]\(f\) est continue sur \([0;1]\) et \(f(0) \cdot f(1) < 0\) : d'après le TVI, il existe \(c \in ]0;1[\) tel que \(f(c) = 0\).
Rédaction attendue. Trois éléments obligatoires : la continuité (avec sa justification), l'intervalle, et le signe ou l'encadrement. Omettre la justification de continuité coûte des points.
B2. Corollaire : existence et unicité
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a;b]\).
Le TVI fournit l'existence, la monotonie stricte fournit l'unicité. Ce sont deux arguments distincts, à citer séparément.
Exemple B2. Reprenons \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0;1]\). \(f\) est dérivable et \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\). Avec l'exemple B1, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in ]0;1[\).
🎬 Vidéo explicative — ressource externe
Ressource externe proposée en complément. Droits à son auteur ; MathMaroc ne la vend pas, n'en est pas responsable et ne garantit pas sa disponibilité.
B3. Encadrement par dichotomie
La dichotomie encadre la solution \(\alpha\) en divisant l'intervalle en deux à chaque étape et en conservant la moitié où le changement de signe persiste.
Exemple B3. Encadrons \(\alpha\) solution de \(x^3 + x - 1 = 0\) dans \([0;1]\), à \(0{,}25\) près.
\[ f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0 \]Donc \(\alpha \in ]0{,}5 ; 1[\).
\[ f(0{,}75) = 0{,}421875 + 0{,}75 - 1 = 0{,}171875 > 0 \]Donc \(\alpha \in ]0{,}5 ; 0{,}75[\), d'amplitude \(0{,}25\).
B4. Fonction réciproque
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\). Elle admet donc une fonction réciproque \(f^{-1} : J \to I\), qui est :
- continue sur \(J\) ;
- strictement monotone sur \(J\), de même sens que \(f\).
Pour tout \(x \in I\) et tout \(y \in J\) :
\[ f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \] \[ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]Dans un repère orthonormé, les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y = x\).
Exemple B4. Soit \(f(x) = x^2\) sur \(I = [0;+\infty[\). \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\), et \(f(I) = [0;+\infty[\). Donc \(f\) est une bijection de \([0;+\infty[\) sur lui-même, et
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y} \quad \text{pour } y \geqslant 0 \]Sur \(\mathbb{R}\) tout entier, \(f\) n'est pas injective (\(f(-2) = f(2)\)) : la restriction à \([0;+\infty[\) est indispensable.
🎬 Vidéo explicative — ressource externe
Ressource externe. Droits à son auteur ; MathMaroc ne la vend pas et n'est pas responsable de son contenu.
B5. Racine d'ordre \(n\)
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). La fonction \(x \mapsto x^n\) est continue et strictement croissante sur \([0;+\infty[\), d'image \([0;+\infty[\). Sa réciproque est la racine d'ordre \(n\) :
\[ \sqrt[n]{\;} : [0;+\infty[ \;\to\; [0;+\infty[ \]Pour \(x \geqslant 0\), \(\sqrt[n]{x}\) est l'unique réel positif dont la puissance \(n\)-ième vaut \(x\) :
\[ y = \sqrt[n]{x} \iff y \geqslant 0 \text{ et } y^n = x \]Précision sur le cadre retenu. Pour \(n\) impair, il existe une racine \(n\)-ième définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier : par exemple \(-2\) vérifie \((-2)^3 = -8\), et l'on peut légitimement écrire \(\sqrt[3]{-8} = -2\) dans ce cadre élargi.
Dans ce cours, nous considérons la restriction à \([0;+\infty[\), quel que soit \(n\). C'est une convention de présentation, et non une impossibilité : sur cet intervalle, \(x \mapsto x^n\) est bijective pour tout \(n\), et les propriétés ci-dessus valent toutes simultanément, ce qui n'est plus le cas si l'on mélange exposants pairs et impairs sur \(\mathbb{R}\).
Pour \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(n, m \in \mathbb{N}^*\) :
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \;(b > 0) \] \[ \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]La fonction \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\).
Exemple B5. Simplifions \(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}\) :
\[ \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{216} = 6 \]Contrôle : \(2 \times 3 = 6\).
B6. Puissances rationnelles
Pour \(a > 0\), \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{N}^*\), on pose
\[ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \]En particulier \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\).
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(r, s \in \mathbb{Q}\) :
\[ a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs} \] \[ (ab)^r = a^r b^r, \qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r} \]Exemple B6. Calculons \(8^{\frac{2}{3}}\) :
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]Ou bien \(8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\) — les deux voies donnent le même résultat.
Synthèse du chapitre
- Prouver la continuité : fonctions usuelles + opérations + composition. La définition n'intervient qu'aux points de raccordement.
- Fonction par morceaux : limite à droite = limite à gauche = valeur.
- Image d'un segment : \([m;M]\), pas \([f(a);f(b)]\), sauf si monotone.
- Existence d'une solution : TVI, avec continuité justifiée.
- Unicité : monotonie stricte, argument séparé.
- Réciproque : continue, strictement monotone de même sens, courbes symétriques par rapport à \(y = x\).
Exemples guidés
Cinq situations rédigées pas à pas. Cherchez chaque étape avant de l'afficher.
Exemple 1 — Continuité d'une fonction par morceaux
Soit
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\ m & \text{si } x = 2 \end{cases} \]Déterminer \(m\) pour que \(f\) soit continue en \(2\).
Voir la réponse
Étape 1 — Calculer la limite. Pour \(x \neq 2\) :
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]Étape 2 — Appliquer la définition. \(f\) continue en \(2\) équivaut à \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\), donc \(4 = m\).
Conclusion. \(m = 4\).
Exemple 2 — Raccordement à droite et à gauche
Soit
\[ g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } x \geqslant 1 \end{cases} \]On sait que \(g\) est continue en \(1\) et que \(g(3) = 8\). Déterminer \(a\) et \(b\).
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité en 1.
\[ \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} g(x) = a + b = g(1) \]La continuité impose \(a + b = 2\).
Étape 2 — Utiliser \(g(3) = 8\). Comme \(3 \geqslant 1\) :
\[ 3a + b = 8 \]Étape 3 — Résoudre. En soustrayant : \(2a = 6\), donc \(a = 3\) et \(b = -1\).
Vérification. \(a + b = 2\) ✓ et \(3(3) - 1 = 8\) ✓
Exemple 3 — Image d'un intervalle
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \([0;3]\). Déterminer \(f([0;3])\).
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité. \(f\) est un polynôme, donc continue sur \([0;3]\). Son image est un segment \([m;M]\).
Étape 2 — Variations. \(f'(x) = 2x - 4\), nulle en \(x = 2\), négative sur \([0;2[\), positive sur \(]2;3]\). Donc \(f\) décroît puis croît : le minimum est atteint en \(2\).
\[ f(2) = 4 - 8 + 1 = -3 \]Étape 3 — Comparer les extrémités.
\[ f(0) = 1, \qquad f(3) = 9 - 12 + 1 = -2 \]Le maximum est \(\max(1; -2) = 1\).
Conclusion. \(f([0;3]) = [-3 ; 1]\).
Piège évité. Répondre \([f(0);f(3)] = [-2;1]\) serait faux : \(f\) n'est pas monotone sur \([0;3]\), et le minimum \(-3\) est intérieur.
Exemple 4 — Existence et unicité d'une solution
Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), puis l'encadrer entre deux entiers consécutifs.
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité. \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
Étape 2 — Monotonie stricte.
\[ f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0 \quad \text{pour tout } x \]Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Étape 3 — Limites aux bornes.
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]Donc \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\), qui contient \(0\).
Étape 4 — Conclure. \(f\) est continue et strictement croissante de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) : elle réalise une bijection. L'équation \(f(x) = 0\) admet donc une unique solution \(\alpha\).
Étape 5 — Encadrer.
\[ f(1) = 1 + 3 - 5 = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 \]Donc \(1 < \alpha < 2\).
Exemple 5 — Fonction réciproque explicite
Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) définie sur \(I = ]1;+\infty[\). Montrer que \(f\) est une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis expliciter \(f^{-1}\).
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité. \(f\) est rationnelle et son dénominateur ne s'annule pas sur \(]1;+\infty[\) : \(f\) est continue sur \(I\).
Étape 2 — Monotonie.
\[ f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \]Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Étape 3 — Image.
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]\(f\) décroissante et continue sur \(]1;+\infty[\) donne \(J = f(I) = ]2;+\infty[\).
Étape 4 — Bijection. Continue et strictement monotone : \(f\) est une bijection de \(]1;+\infty[\) sur \(]2;+\infty[\).
Étape 5 — Expliciter. Résolvons \(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\) :
\[ y(x-1) = 2x+1 \;\Longrightarrow\; yx - y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; x(y-2) = y+1 \] \[ x = \frac{y+1}{y-2} \]Donc \(f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{y-2}\) pour \(y \in ]2;+\infty[\).
Vérification. \(f(3) = \frac{7}{2}\) et \(f^{-1}\!\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{9/2}{3/2} = 3\) ✓
Exemple 6 — Forme \(\frac{0}{0}\) : factoriser
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3}\).
Voir la piste
\(3\) annule les deux polynômes : il est racine de chacun.
Voir la résolution
Exemple 7 — Forme \(\frac{\infty}{\infty}\) : plus haut degré
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 - x}{5x^3 + 4x^2}\).
Voir la résolution
Le résultat est le même en \(-\infty\) et en \(+\infty\) : pour une fraction rationnelle de degrés égaux, la limite est le quotient des coefficients dominants, quel que soit le côté.
Exemple 8 — Forme \(\infty - \infty\) : quantité conjuguée
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right)\).
Voir la piste
Multiplier et diviser par \(\sqrt{x^2+3x}+x\).
Voir la résolution
Pour \(x > 0\), on a mis \(x\) en facteur au dénominateur.
Exemple 9 — Composée : la condition qu'on oublie
On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b\) et \(\displaystyle\lim_{t \to b} v(t) = c\). Peut-on conclure que \(\displaystyle\lim_{x \to a}(v \circ u)(x) = c\) ?
Voir la piste
Essayer avec \(u\) constante égale à \(b\), et \(v\) discontinue en \(b\).
Voir la résolution
Pas en général. Prenons \(a=b=0\), \(u(x)=0\) pour tout \(x\), et
\[ v(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } t \neq 0 \\ 5 & \text{si } t = 0 \end{cases} \]Les deux hypothèses sont vérifiées, avec \(c = 1\). Pourtant \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) pour tout \(x\).
Il faut ajouter, quand \(b\) est fini, l'une de ces deux conditions :
- \(v\) est continue en \(b\) — alors \(c = v(b)\) ;
- \(u(x) \neq b\) sur un voisinage pointé de \(a\).
Quand \(b\) est infini, aucune condition supplémentaire n'est requise.
Méthodes mobilisées
- Exemple 1 — Prolongement par continuité : calculer la limite, l'imposer comme valeur.
- Exemple 2 — Raccordement : deux limites latérales, puis exploitation d'une condition supplémentaire. Système à deux inconnues.
- Exemple 3 — Image d'un segment : justifier la continuité, dresser le tableau de variations, comparer toutes les valeurs candidates. Ne jamais se contenter des extrémités.
- Exemple 4 — Existence + unicité : TVI puis monotonie stricte, deux arguments distincts. L'encadrement se fait par calcul de signes.
- Exemple 5 — Réciproque : continuité, monotonie, image, puis résolution algébrique de \(y = f(x)\) en \(x\).
Trois erreurs à ne pas reproduire
- Écrire \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) sans avoir établi la monotonie.
- Conclure à l'unicité à partir du seul TVI.
- Oublier de justifier la continuité avant d'invoquer le TVI — c'est l'hypothèse du théorème.
Méthodes mobilisées — exemples 6 à 9
Exemple 6 — Forme \(\frac{0}{0}\) : factoriser par \((x-a)\) au numérateur et au dénominateur, puis simplifier pour \(x \neq a\).
Exemple 7 — Forme \(\frac{\infty}{\infty}\) : mettre en facteur le terme de plus haut degré en haut et en bas.
Exemple 8 — Forme \(\infty - \infty\) avec une racine : multiplier par la quantité conjuguée, puis mettre \(x\) en facteur.
Exemple 9 — Composée : vérifier, quand \(b\) est fini, que \(v\) est continue en \(b\) ou que \(u\) ne prend pas la valeur \(b\) près de \(a\).
Deux erreurs à ne pas reproduire — partie limites
Écrire \(\infty-\infty = 0\) ou \(\frac{\infty}{\infty} = 1\) : ces écritures ne désignent aucun nombre.
Conclure un changement de variable au seul motif que \(u(x)\) appartient au domaine de \(v\) : la condition porte sur la continuité ou sur le voisinage pointé.
Exercices interactifs
Quatre niveaux. Traitez chaque question sur papier avant d'afficher la réponse. Les pistes sont là pour vous débloquer, pas pour remplacer la recherche.
Niveau 1 — Application directe
Exercice 1. Étudier la continuité en \(0\) de
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0, \; x > -1 \\ \dfrac{1}{2} & \text{si } x = 0 \end{cases} \]a) Simplifier l'expression de \(f(x)\) pour \(x \neq 0\).
Voir la piste
Multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt{x+1}+1\).
Voir la réponse
Multiplions par la quantité conjuguée :
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]La simplification par \(x\) est licite car \(x \neq 0\).
b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
Voir la réponse
La forme \(\frac{0}{0}\) de départ est levée : l'expression simplifiée est continue en \(0\).
c) Conclure sur la continuité de \(f\) en \(0\).
Voir la réponse
Les trois conditions sont réunies : \(f(0)\) existe, la limite existe, et les deux coïncident. Donc \(f\) est continue en \(0\).
Exercice 2. Soit \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}\).
a) Déterminer le domaine de définition de \(h\).
Voir la réponse
La racine impose \(x \geqslant 0\). Le dénominateur \(x^2+1\) ne s'annule jamais car \(x^2+1 \geqslant 1\). Donc \(D_h = [0;+\infty[\).
b) Justifier la continuité du numérateur et celle du dénominateur.
Voir la réponse
\(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\). \(x \mapsto x^2+1\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
c) Conclure que \(h\) est continue sur \([0;+\infty[\).
Voir la réponse
Le quotient d'une fonction continue par une fonction continue qui ne s'annule pas est continu. Comme \(x^2+1 \geqslant 1 > 0\) sur \([0;+\infty[\), \(h\) est continue sur \([0;+\infty[\).
Point de méthode. La condition à vérifier n'est pas « le dénominateur est continu », mais « le dénominateur ne s'annule pas ».
Exercice 3. Calculs de racines et de puissances rationnelles.
a) Calculer \(\sqrt[4]{16}\).
Voir la réponse
b) Calculer \(27^{\frac{1}{3}}\).
Voir la réponse
c) Calculer \(32^{\frac{2}{5}}\).
Voir la réponse
d) Quelle propriété autorise l'écriture \(\left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = \sqrt[5]{32^2}\), et sous quelles conditions ?
Voir la réponse
Valable pour \(x \geqslant 0\) lorsque \(m \in \mathbb{N}^{*}\), et pour \(x > 0\) lorsque \(m \leqslant 0\). Le couple \(x = 0\), \(m = 0\) est exclu : il conduirait à \(0^{0}\).
Ici \(x = 32 > 0\) et \(m = 2\) : les deux écritures sont équivalentes.
Exercice 9. Limites usuelles et opérations.
a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}\).
Voir la piste
Mettre \(x^2\) en facteur au numérateur et au dénominateur.
Voir la réponse
b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}\) puis \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}\). Que peut-on dire de \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) ?
Voir la réponse
Les deux limites existent mais diffèrent : \(\frac{1}{x}\) n'a pas de limite en \(0\).
c) Même question pour \(\dfrac{1}{x^2}\). Expliquer la différence.
Voir la réponse
Le dénominateur \(x^2\) est strictement positif des deux côtés, alors que \(x\) change de signe. Tout se joue sur le signe du dénominateur.
d) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).
Voir la réponse
On se ramène à \(\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1\) en posant \(t = 3x\).
Niveau 2 — Raisonnement
Exercice 4. Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).
a) Montrer que \(f(x) = 0\) admet une solution dans \([0;1]\).
Voir la réponse
\(f\) est un polynôme, donc continue sur \([0;1]\).
\[ f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \]\(f(0) \cdot f(1) < 0\) : d'après le TVI, \(f\) s'annule au moins une fois dans \(]0;1[\).
b) Cette solution est-elle unique dans \(\mathbb{R}\) ?
Voir la réponse
Non. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\) s'annule en \(-1\) et \(1\) : \(f\) n'est pas monotone sur \(\mathbb{R}\).
\[ f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0, \qquad f(0) = 1 > 0, \qquad f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \]Trois changements de signe : l'équation admet trois solutions réelles.
c) La solution de \([0;1]\) est-elle, elle, unique dans cet intervalle ?
Voir la piste
Quel est le signe de \(f'\) sur \([0;1]\) ?
Voir la réponse
Sur \([0;1]\), \(f'(x) = 3(x-1)(x+1) \leqslant 0\), et ne s'annule qu'en \(1\) : \(f\) est strictement décroissante sur \([0;1]\).
L'existence vient du TVI, et la stricte monotonie permet de garantir l'unicité sur cet intervalle. C'est tout l'écart avec la question b) : l'unicité dépend de l'intervalle où l'on se place.
d) Encadrer cette solution par dichotomie, avec une amplitude de \(0{,}25\).
Voir la réponse
Intervalle initial \([a_0;b_0] = [0;1]\), d'amplitude \(1\).
Étape 1 — \(m = 0{,}5\), \(f(0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 + 1 = -0{,}375 \neq 0\), de signe contraire à \(f(0)\) : l'intervalle courant devient \([0;0{,}5]\).
Étape 2 — \(m = 0{,}25\), \(f(0{,}25) \approx 0{,}266 \neq 0\), de même signe que \(f(0)\) : l'intervalle courant devient \([0{,}25;0{,}5]\).
Après \(k = 2\) étapes, l'amplitude vaut bien :
\[ \frac{b_0 - a_0}{2^{k}} = \frac{1}{2^{2}} = 0{,}25 \]Si à une étape \(f(m)\) avait été exactement nul, l'algorithme se serait arrêté : \(m\) aurait été la solution exacte.
Exercice 5. Soit \(f(x) = x^2 + 2x\) sur \([-2;1]\).
a) Justifier que \(f([-2;1])\) est un segment.
Voir la réponse
\(f\) est un polynôme, donc continue. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
b) Étudier les variations de \(f\) sur \([-2;1]\).
Voir la réponse
\(f'(x) = 2x + 2\), nulle en \(x = -1\), négative avant, positive après.
\(f\) décroît sur \([-2;-1]\) puis croît sur \([-1;1]\) : elle n'est pas monotone.
c) En déduire \(f([-2;1])\).
Voir la réponse
Maximum \(= 3\). Donc \(f([-2;1]) = [-1;3]\).
Erreur à éviter. Lire l'image sur les seules bornes donnerait \([0;3]\) : c'est faux, car \(f\) n'est pas monotone sur cet intervalle.
Exercice 6. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que
\[ f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{si } x \leqslant 0 \\ \dfrac{\sin(bx)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]soit continue en \(0\), avec \(b \neq 0\).
a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x)\) et \(f(0)\).
Voir la réponse
Pour \(x \leqslant 0\), \(f(x) = ax + 2\), donc \(f(0) = 2\) et
\[ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 2 \]b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)\) en fonction de \(b\).
Voir la piste
Faire apparaître \(\dfrac{\sin(bx)}{bx}\).
Voir la réponse
c) Conclure sur \(a\) et sur \(b\).
Voir la réponse
La continuité impose l'égalité des deux limites et de \(f(0)\), donc \(b = 2\).
La valeur de \(a\) est quelconque : elle n'intervient pas dans la limite à gauche, qui vaut \(a \times 0 + 2 = 2\) indépendamment de \(a\).
Point de méthode. Une condition de raccordement ne détermine pas toujours tous les paramètres. Il faut vérifier lesquels interviennent réellement.
Exercice 10. Formes indéterminées.
a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\).
Voir la réponse
Forme \(\frac{0}{0}\) levée par factorisation.
b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)\).
Voir la piste
Multiplier par l'expression conjuguée \(\sqrt{x^2+x} + x\).
Voir la réponse
Forme \(\infty - \infty\) levée par quantité conjuguée.
c) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}\).
Voir la réponse
Forme \(\frac{0}{0}\) ramenée à un produit dont un facteur tend vers \(0\).
d) Deux formes \(\infty - \infty\) peuvent-elles avoir des limites différentes ? Donner deux exemples.
Voir la réponse
Oui, et c'est tout le sens du mot « indéterminée ».
\[ \lim_{x \to +\infty}\big((x+1) - x\big) = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty}\big((x^2) - x\big) = +\infty \]Une forme indéterminée n'est pas un résultat : c'est le signal qu'il faut transformer l'expression.
Niveau 3 — Comparaison et encadrement
Exercice 11. Fonctions bornées, comparaison et encadrement.
a) Encadrer \(\sin x\) pour tout réel \(x\), puis encadrer \(\dfrac{\sin x}{x}\) pour \(x > 0\).
Voir la réponse
En divisant par \(x > 0\), qui ne change pas le sens des inégalités :
\[ -\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x} \]b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\).
Voir la réponse
Les deux bornes \(-\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x}\) tendent vers \(0\) en \(+\infty\).
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]C'est le théorème d'encadrement : il conclut parce que les deux bornes convergent vers la même limite finie.
c) La fonction \(x \mapsto \sin x\) est bornée. Admet-elle une limite en \(+\infty\) ? Justifier.
Voir la piste
Regarder les valeurs prises en \(x = 2k\pi\) et en \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), pour \(k\) entier qui tend vers l'infini.
Voir la réponse
Non. Posons \(x_k = 2k\pi\) et \(y_k = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
\[ \sin(x_k) = 0 \quad \text{et} \quad \sin(y_k) = 1 \quad \text{pour tout } k \]Ces deux suites tendent vers \(+\infty\) mais les valeurs de \(\sin\) y restent respectivement égales à \(0\) et à \(1\). La fonction ne peut donc se rapprocher d'aucune valeur unique.
À retenir. Être bornée ne suffit pas à avoir une limite. Ce qui fait converger \(\frac{\sin x}{x}\), ce n'est pas que \(\sin\) soit bornée, c'est que \(\frac{1}{x}\) tende vers \(0\) et écrase l'oscillation.
d) Soit \(f\) telle que \(f(x) \geqslant x - \cos x\) pour tout \(x > 0\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
Voir la réponse
Comme \(\cos x \leqslant 1\), on a \(x - \cos x \geqslant x - 1\), donc
\[ f(x) \geqslant x - 1 \quad \text{pour tout } x > 0 \]Or \(x - 1 \to +\infty\). Par le théorème de comparaison :
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]Différence avec b). Ici une seule minoration suffit, car on pousse vers \(+\infty\). L'encadrement, lui, exige deux bornes et une limite finie.
Niveau 4 — Approfondissement
Exercice 7. Soit \(f\) continue sur \([0;1]\) telle que \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 1\).
a) On cherche \(c\) tel que \(f(c) = 1 - c\). Quelle fonction auxiliaire introduire ?
Voir la réponse
Posons \(g(x) = f(x) - 1 + x\). L'équation \(f(c) = 1-c\) équivaut à \(g(c) = 0\), ce qui ramène le problème à une annulation.
\(g\) est continue sur \([0;1]\) comme somme de fonctions continues.
b) Calculer \(g(0)\) et \(g(1)\).
Voir la réponse
c) Conclure, et dégager la méthode générale.
Voir la réponse
D'après le TVI, il existe \(c \in ]0;1[\) tel que \(g(c) = 0\), c'est-à-dire \(f(c) = 1 - c\).
Méthode à retenir. Pour une équation de la forme \(f(x) = \varphi(x)\), on introduit \(g = f - \varphi\) et on applique le TVI à \(g\).
Noter qu'on ne peut rien dire de l'unicité : \(f\) n'est pas supposée monotone.
Exercice 8. Soit \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) sur \([0;1]\).
a) Montrer que \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0;1]\).
Voir la réponse
\(f\) est rationnelle et \(x^2+1\) ne s'annule pas : \(f\) est continue sur \([0;1]\).
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]Sur \([0;1[\), \(1 - x^2 > 0\) donc \(f' > 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\).
b) En déduire que \(f\) est une bijection de \([0;1]\) sur un intervalle \(J\) que l'on déterminera.
Voir la réponse
Continue et strictement croissante sur \([0;1]\), \(f\) réalise une bijection de \([0;1]\) sur \(J = \left[0 ; \tfrac{1}{2}\right]\).
c) Déterminer \(f^{-1}(y)\) pour \(y \in J\).
Voir la piste
Résoudre \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\) en \(x\) : c'est une équation du second degré.
Voir la réponse
Résolvons \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\) :
\[ yx^2 - x + y = 0 \]Pour \(y \neq 0\), discriminant \(\Delta = 1 - 4y^2 \geqslant 0\) car \(y \leqslant \tfrac{1}{2}\). Les racines sont
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4y^2}}{2y} \]Pour \(0 < y < \tfrac{1}{2}\), on a \(\Delta = 1-4y^2 > 0\) : les deux racines sont distinctes. Leur produit vaut \(\dfrac{y}{y} = 1\), donc l'une est dans \(]0;1[\) et l'autre dans \(]1;+\infty[\). Seule la branche avec le signe \(-\) appartient à \([0;1]\) :
\[ f^{-1}(y) = \frac{1 - \sqrt{1-4y^2}}{2y} \qquad \left(0 < y < \tfrac{1}{2}\right) \]Aux deux extrémités, le raisonnement précédent ne s'applique pas et il faut traiter chaque cas séparément.
- \(y = 0\) : l'équation \(yx^2 - x + y = 0\) devient \(-x = 0\). Elle n'est plus du second degré, et la formule ci-dessus est indéfinie. L'unique solution est \(x = 0\), donc \(f^{-1}(0) = 0\).
- \(y = \tfrac{1}{2}\) : alors \(\Delta = 1 - 4 \times \tfrac14 = 0\). Les deux signes donnent la même valeur \(x = \dfrac{1}{2y} = 1\) : il n'y a plus de choix à faire, la racine est double. Donc \(f^{-1}\!\left(\tfrac12\right) = 1\), ce qui est cohérent avec \(f(1) = \tfrac12\).
Point de rigueur. Écrire « seule la branche \(-\) convient » n'est exact que tant que \(\Delta > 0\). En \(y = \tfrac12\) les deux branches coïncident, et en \(y = 0\) l'équation change de nature : les extrémités d'un intervalle méritent toujours un examen propre.
Exercice 12. Limite d'une fonction composée.
a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}}\) et justifier le passage à la limite.
Voir la réponse
Posons \(t = \dfrac{4x^2+1}{x^2+3}\). En mettant \(x^2\) en facteur :
\[ \lim_{x \to +\infty} t = \frac{4}{1} = 4 \]La fonction \(t \mapsto \sqrt{t}\) est continue en \(4\), avec \(\sqrt{4}=2\) : le passage à la limite est licite sans hypothèse supplémentaire.
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}} = 2 \]b) Soient \(u(x) = 0\) pour tout \(x\), et \(v\) définie par \(v(t) = 1\) si \(t \neq 0\), \(v(0) = 5\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} u(x)\), \(\displaystyle\lim_{t \to 0} v(t)\), puis \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(v \circ u)(x)\).
Voir la réponse
Mais \((v \circ u)(x) = v(0) = 5\) pour tout \(x\), donc
\[ \lim_{x \to 0} (v \circ u)(x) = 5 \neq 1 \]c) Quelle hypothèse manque-t-il dans la question b), et pourquoi la question a) n'en a-t-elle pas besoin ?
Voir la réponse
Quand \(b\) est fini, les deux limites ne suffisent pas. Il faut en plus, au choix : que \(v\) soit continue en \(b\), ou que \(u(x) \neq b\) sur un voisinage pointé de \(a\).
En b), \(u\) prend exactement la valeur \(b = 0\), là où \(v\) est discontinue : aucune des deux conditions n'est remplie.
En a), \(v = \sqrt{\;}\) est continue en \(b = 4\) : la première condition est satisfaite, rien d'autre n'est à vérifier.
Point de méthode. Vérifier que \(u(x)\) appartient au domaine de \(v\) ne suffit pas à justifier un changement de variable dans une limite.
Barème indicatif et points de méthode
| Exercice | Méthode clé | Points |
|---|---|---|
| 1 | Quantité conjuguée puis définition de la continuité | 2 |
| 2 | Quotient de fonctions continues, dénominateur non nul | 2 |
| 3 | Racines d'ordre \(n\) et puissances rationnelles | 2 |
| 4 | TVI ; contre-exemple à l'unicité par étude du signe de \(f'\) | 3 |
| 5 | Image d'un segment via le tableau de variations | 3 |
| 6 | Limites latérales ; \(\lim \frac{\sin t}{t} = 1\) | 3 |
| 7 | Fonction auxiliaire \(g = f - \varphi\) puis TVI | 2 |
| 8 | Bijection, image, inversion algébrique, sélection de la racine | 3 |
Remédiation ciblée
- Exercices 1, 2 ou 3 manqués → reprendre le Cours essentiel, sections A1 à A5, puis les exemples guidés 1 et 2.
- Exercice 4 ou 5 manqué → revoir A7 et B1, puis l'exemple guidé 3. L'erreur est presque toujours \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) appliqué sans monotonie.
- Exercice 6 manqué → revoir A2 et les limites trigonométriques de 1BAC.
- Exercices 7 ou 8 manqués → revoir B2 et B4, puis l'exemple guidé 5.
Réponses courtes
- 1. Continue en \(0\).
- 2. Continue sur \([0;+\infty[\).
- 3. \(2\) ; \(3\) ; \(4\).
- 4. a) TVI sur \([0;1]\). b) Non, trois solutions.
- 5. \([-1;3]\).
- 6. \(b = 2\), \(a\) quelconque.
- 7. Poser \(g(x) = f(x) - 1 + x\).
- 8. \(J = \left[0;\tfrac12\right]\) ; \(f^{-1}(y) = \dfrac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2y}\).
Barème indicatif et points de méthode — exercices 9 à 12
Exercice 9 — Limites usuelles, signe du dénominateur, limite trigonométrique. 4 points.
Exercice 10 — Les quatre formes indéterminées et leurs techniques de levée. 4 points.
Exercice 11 — Encadrement, comparaison, et le contre-exemple de la fonction bornée sans limite. 4 points.
Exercice 12 — Composée : condition de continuité ou de voisinage pointé. 3 points.
Remédiation ciblée — partie limites
Si l'exercice 9 b) ou c) résiste : revoir le signe du dénominateur quand il tend vers \(0\), et reprendre l'exemple 1 du cours.
Si l'exercice 10 résiste : reprendre la méthode « Lever une forme indéterminée » du cours, technique par technique, avant de refaire les exemples 6 à 8.
Si l'exercice 11 c) résiste : retenir qu'être bornée ne donne aucune limite, et que l'encadrement exige deux bornes convergeant vers la même valeur finie.
Si l'exercice 12 c) résiste : refaire l'exemple 9, qui porte exactement sur ce point.
Réponses courtes — exercices 9 à 12
9 a) \(\frac{3}{2}\) — b) \(+\infty\) et \(-\infty\), pas de limite — c) \(+\infty\) — d) \(3\).
10 a) \(4\) — b) \(\frac{1}{2}\) — c) \(0\) — d) \(1\) et \(+\infty\).
11 a) \(-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}\) — b) \(0\) — c) non — d) \(+\infty\).
12 a) \(2\) — b) \(0\), \(1\), puis \(5\) — c) continuité en \(b\), ou voisinage pointé.
Mode examen
Sujet 1 — Continuité
Épreuve de \(1\) heure, \(20\) points. Aucun document. Traitez les trois exercices dans l'ordre de votre choix, en rédigeant complètement.
Exercice I — Continuité et raccordement (6 points)
Soit
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} & \text{si } x > 2 \\ ax + 1 & \text{si } x \leqslant 2 \end{cases} \]- 1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\). (2 pts)
- 2. Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(2\). (2 pts)
- 3. Avec cette valeur de \(a\), justifier que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)
Exercice II — TVI et dichotomie (7 points)
Soit \(g(x) = x^3 + x^2 - 2\).
- 1. Justifier que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
- 2. Calculer \(g(0)\) et \(g(2)\), puis montrer que \(g(x) = 0\) admet une solution dans \([0;2]\). (2 pts)
- 3. Étudier le signe de \(g'\) sur \([0;2]\) et en déduire l'unicité de cette solution \(\alpha\). (2 pts)
- 4. Encadrer \(\alpha\) à \(0{,}5\) près par dichotomie. (2 pts)
Exercice III — Bijection et réciproque (7 points)
Soit \(h(x) = \sqrt{2x + 3}\) sur \(I = \left[-\tfrac{3}{2} ; +\infty\right[\).
- 1. Justifier que \(h\) est continue sur \(I\). (2 pts)
- 2. Étudier la monotonie de \(h\) sur \(I\). (2 pts)
- 3. Déterminer \(J = h(I)\). (1 pt)
- 4. Montrer que \(h\) est une bijection de \(I\) sur \(J\) et expliciter \(h^{-1}\). (2 pts)
Conseil de gestion du temps. Environ \(15\) minutes pour l'exercice I, \(20\) pour le II, \(20\) pour le III, et \(5\) minutes de relecture. Sur chaque question invoquant un théorème, vérifiez que vous avez bien écrit ses hypothèses.
Sujet 2 — Limites et continuité
Épreuve de \(1\) heure, \(20\) points. Aucun document. Traitez les trois exercices dans l'ordre de votre choix, en rédigeant complètement.
Exercice I — Calcul de limites (6 points)
1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}\). (2 pts)
2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2+4x} - x\right)\). (2 pts)
3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x}\). (2 pts)
Exercice II — Encadrement et comparaison (7 points)
Soit \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{2 + \cos x}{x}\).
1. Montrer que \(\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{3}{x}\) pour tout \(x > 0\). (3 pts)
2. En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (2 pts)
3. Soit \(g(x) = x + \sin x\). Montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). (2 pts)
Exercice III — Prolongement par continuité (7 points)
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}\) définie sur \(]1;+\infty[\).
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} h(x)\). (2 pts)
2. La fonction \(h\) est-elle prolongeable par continuité en \(1\) ? Si oui, donner son prolongement \(\tilde h\). (3 pts)
3. Soit \(k(x) = \sqrt{h(x) + 3}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} k(x)\) en justifiant le passage à la limite. (2 pts)
Corrigé du mode examen
Exercice I (6 points)
1. Pour \(x > 2\), factorisons le numérateur. \(x^2 - x - 2\) a pour racines \(2\) et \(-1\), donc
\[ \frac{x^2-x-2}{x-2} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1 \] \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \]2. À gauche, \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + 1 = f(2)\). La continuité en \(2\) impose
\[ 2a + 1 = 3 \;\Longrightarrow\; a = 1 \]3. Avec \(a = 1\) : sur \(]-\infty;2]\), \(f(x) = x+1\) est un polynôme donc continue ; sur \(]2;+\infty[\), \(f(x) = x+1\) également. En \(2\), la continuité est établie à la question 2. Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) — et vaut en fait \(x+1\) partout.
Exercice II (7 points)
1. \(g\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
2.
\[ g(0) = -2 < 0, \qquad g(2) = 8 + 4 - 2 = 10 > 0 \]\(g\) est continue sur \([0;2]\) et \(g(0) \cdot g(2) < 0\) : d'après le TVI, \(g\) s'annule au moins une fois dans \(]0;2[\).
3.
\[ g'(x) = 3x^2 + 2x = x(3x+2) \]Sur \(]0;2]\), \(x > 0\) et \(3x + 2 > 0\) donc \(g' > 0\) : \(g\) est strictement croissante sur \([0;2]\). La solution \(\alpha\) est donc unique.
4. Dichotomie :
\[ g(1) = 1 + 1 - 2 = 0 \]La solution est atteinte exactement : \(\alpha = 1\). L'encadrement demandé est donc immédiat, \(\alpha \in [1;1]\).
Remarque. Un candidat qui poursuit la dichotomie sans remarquer \(g(1) = 0\) n'est pas pénalisé s'il obtient un encadrement correct.
Exercice III (7 points)
1. Posons \(u(x) = 2x+3\), polynôme donc continu sur \(I\), et \(v(t) = \sqrt{t}\), continue sur \([0;+\infty[\). Pour \(x \geqslant -\tfrac{3}{2}\), \(u(x) \geqslant 0\), donc \(u(I) \subset [0;+\infty[\). Par composition, \(h = v \circ u\) est continue sur \(I\).
2. \(u\) est strictement croissante et \(v\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\) : la composée \(h\) est strictement croissante sur \(I\).
Ou par le calcul, sur \(\left]-\tfrac32;+\infty\right[\) :
\[ h'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0 \]3.
\[ h\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty \]\(h\) continue et strictement croissante sur \(I\) donne \(J = h(I) = [0;+\infty[\).
4. Continue et strictement monotone : \(h\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J\). Pour \(y \geqslant 0\) :
\[ y = \sqrt{2x+3} \;\Longrightarrow\; y^2 = 2x+3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{y^2-3}{2} \] \[ h^{-1}(y) = \frac{y^2 - 3}{2} \quad \text{pour } y \in [0;+\infty[ \]Vérification. \(h(3) = \sqrt{9} = 3\) et \(h^{-1}(3) = \frac{9-3}{2} = 3\) ✓
Grille de lecture du résultat
- 16 à 20 — Chapitre maîtrisé. Passez au chapitre suivant.
- 11 à 15 — Bases acquises. Reprenez les exercices de niveau 3.
- 6 à 10 — Revoyez le Cours essentiel Partie C, puis les exemples guidés 4 et 5.
- 0 à 5 — Reprenez le chapitre depuis la Partie B, et le diagnostic de la section Accueil.
Erreurs les plus fréquentes
- Exercice I.3 : oublier de traiter les deux morceaux et le point de raccordement.
- Exercice II.3 : conclure à l'unicité sans étudier le signe de \(g'\).
- Exercice III.1 : invoquer la composition sans vérifier \(u(I) \subset [0;+\infty[\).
- Exercice III.4 : donner \(h^{-1}\) sans préciser son ensemble de définition.
Corrigé du sujet 2
Exercice I (6 points)
1. Le réel \(1\) annule les deux polynômes :
\[ \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1) \] \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = \frac{2}{-1} = -2 \]2. Quantité conjuguée :
\[ \sqrt{x^2+4x} - x = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1} \longrightarrow 2 \]3. On fait apparaître \(\dfrac{\sin t}{t}\) :
\[ \frac{\sin(5x)}{2x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \longrightarrow \frac{5}{2} \]Exercice II (7 points)
1. Pour tout réel \(x\), \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\), donc \(1 \leqslant 2+\cos x \leqslant 3\). En divisant par \(x > 0\), qui ne change pas le sens des inégalités :
\[ \frac{1}{x} \leqslant \frac{2+\cos x}{x} \leqslant \frac{3}{x} \]2. Les deux bornes tendent vers \(0\) en \(+\infty\). Par le théorème d'encadrement :
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \]3. Comme \(\sin x \geqslant -1\), on a \(g(x) \geqslant x - 1\) pour tout \(x\). Or \(x-1 \to +\infty\). Par comparaison :
\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]Une seule minoration suffit ici, car on pousse vers \(+\infty\).
Exercice III (7 points)
1. Le numérateur \(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\) s'annule lui aussi en \(1\). Après simplification, licite car \(x \neq 1\) :
\[ h(x) = x - 2 \qquad \text{donc} \qquad \lim_{x \to 1^{+}} h(x) = -1 \]La limite est finie : le dénominateur s'annule, mais il n'y a aucune divergence, contrairement à ce que la forme de l'écriture laissait craindre.
2. La limite existe et elle est finie : \(h\) est prolongeable par continuité en \(1\), et le prolongement est unique :
\[ \tilde h(x) = \begin{cases} h(x) & \text{si } x > 1 \\ -1 & \text{si } x = 1 \end{cases} \]La valeur \(-1\) n'est pas choisie : elle est imposée par la limite.
3. On a \(h(x) + 3 \to -1 + 3 = 2\) quand \(x \to 1^{+}\). La fonction \(t \mapsto \sqrt{t}\) est continue en \(2\) : le passage à la limite dans la composée est licite sans hypothèse supplémentaire.
\[ \lim_{x \to 1^{+}} k(x) = \sqrt{2} \]Grille de lecture du résultat — sujet 2
16 à 20 — les limites sont acquises, y compris les cas pièges.
11 à 15 — les techniques sont connues, les justifications restent à soigner.
6 à 10 — revoir les formes indéterminées et l'encadrement avant d'aller plus loin.
0 à 5 — reprendre la Partie A du cours — les limites — et les exemples 6 à 9.
Erreurs les plus fréquentes — sujet 2
Conclure à une divergence dès que le dénominateur s'annule, sans vérifier si le numérateur s'annule aussi — exercice III question 1.
Diviser un encadrement par \(x\) sans préciser que \(x > 0\) : avec \(x < 0\), les inégalités changeraient de sens.
Utiliser l'encadrement pour conclure à une limite infinie : l'encadrement donne une limite finie ; pour l'infini, c'est la comparaison, et une seule borne suffit.