Série d'exercices: nombres complexes

Objectifs

• Maîtriser les opérations sur les nombres complexes : forme algébrique, conjugué, module, argument.
• Savoir résoudre des équations dans C et factoriser des polynômes.
• Utiliser les transformations du plan (rotations, translations, similitudes) et leurs écritures complexes.
• Déterminer des ensembles de points à l'aide d'arguments et de modules.

Résumé du cours

1. Formes et opérations

• Forme algébrique : \(z = x + iy\) avec \(x, y \in \mathbb{R}\).
• Conjugué : \(\overline{z} = x - iy\).
• Module : \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\overline{z}}\).
• Argument : \(\arg(z)\) est l'angle \(\theta\) tel que \(z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)\).
• Forme exponentielle : \(z = |z| e^{i\theta}\).

2. Équations dans C

Une équation du second degré \(az^2 + bz + c = 0\) (avec \(a,b,c \in \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) se résout en utilisant le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).

• Si \(\Delta \in \mathbb{C}\), les solutions sont \(z = \frac{-b \pm \delta}{2a}\) où \(\delta\) est une racine carrée de \(\Delta\).
• Si \(\Delta \in \mathbb{R}\), on utilise les formules usuelles.

3. Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de \(z^n = 1\) sont les \(n\) nombres complexes : \[ z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1. \]

4. Transformations du plan

• Translation de vecteur d'affixe \(b\) : \(z' = z + b\).
• Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) : \(z' = e^{i\theta} z\).
• Rotation de centre \(\Omega(a)\) et d'angle \(\theta\) : \(z' - a = e^{i\theta}(z - a)\).
• Homothétie de centre \(\Omega(a)\) et de rapport \(k \in \mathbb{R}\) : \(z' - a = k(z - a)\).
• Similitude directe : \(z' = \alpha z + \beta\) avec \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\), \(\alpha \neq 0\).

5. Ensembles de points

• Cercle de centre \(A(a)\) et de rayon \(r > 0\) : \(|z - a| = r\).
• Médiatrice de \([AB]\) : \(|z - a| = |z - b|\).
• Demi-droite d'angle \(\theta\) : \(\arg(z - a) = \theta \pmod{2\pi}\).

Exercices corrigés

Exercice 1 (Corrigé)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 2z + 4 = 0\).

Correction :

\(\Delta = 4 - 16 = -12 = (2i\sqrt{3})^2\). Les solutions sont : \[ z_1 = -1 + i\sqrt{3}, \quad z_2 = -1 - i\sqrt{3}. \]

Exercice 2 (Corrigé)

Soit \(P(z) = z^3 + (3 - i)z^2 + (6 - 2i)z + 4 - 4i\). Vérifier que \(z_0 = -1 + i\) est solution, puis factoriser \(P(z)\).

Correction :

On calcule \(P(-1+i) = 0\). La factorisation donne : \[ P(z) = (z + 1 - i)(z^2 + 2z + 4). \] Les solutions sont donc \(z_0 = -1 + i\), \(z_1 = -1 + i\sqrt{3}\) et \(z_2 = -1 - i\sqrt{3}\).

Exercice 3 (Corrigé)

Montrer que \(1 + e^{i\theta} = 2e^{i\theta/2}\cos\frac{\theta}{2}\).

Correction :

\(1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}) = e^{i\theta/2}\left(2\cos\frac{\theta}{2}\right)\).

En déduire que \(z = \frac{e^{2i\theta} - 1}{e^{2i\theta} + 1} = i\tan\theta\).

En effet, \(z = \frac{e^{i\theta}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})}{e^{i\theta}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} = \frac{2i\sin\theta}{2\cos\theta} = i\tan\theta\).

Exercice 4 (Corrigé)

Dans le plan complexe, on donne \(A\) d'affixe \(a = \frac{3}{7}i\) et \(B\) d'affixe \(b = -\frac{3\sqrt{3}}{14} + \frac{3}{14}i\). Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).

1. Déterminer l'écriture complexe de \(R\).
2. Montrer que \(R(A) = B\) et en déduire la nature du triangle \(OAB\).

Correction :

1. \(R\) a pour écriture complexe : \(z' = e^{i\pi/3} z = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z\).
2. On vérifie que \(e^{i\pi/3} \times \frac{3}{7}i = -\frac{3\sqrt{3}}{14} + \frac{3}{14}i = b\). Comme \(OA = OB\) et \(\widehat{AOB} = \frac{\pi}{3}\), le triangle \(OAB\) est équilatéral.

Exercice 5 (Corrigé)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(\left(\frac{z-i}{z+i}\right)^4 = 1\).

Correction :

On pose \(u = \frac{z-i}{z+i}\). L'équation devient \(u^4 = 1\) donc \(u \in \{1, i, -1, -i\}\).

• Si \(u = 1\) : \(\frac{z-i}{z+i} = 1 \Rightarrow z-i = z+i \Rightarrow -i = i\), impossible.
• Si \(u = -1\) : \(\frac{z-i}{z+i} = -1 \Rightarrow z-i = -z - i \Rightarrow 2z = 0 \Rightarrow z = 0\).
• Si \(u = i\) : \(\frac{z-i}{z+i} = i \Rightarrow z-i = i(z+i) = iz - 1 \Rightarrow z - iz = i - 1 \Rightarrow z(1-i) = i-1 \Rightarrow z = -1\).
• Si \(u = -i\) : \(\frac{z-i}{z+i} = -i \Rightarrow z-i = -i(z+i) = -iz + 1 \Rightarrow z + iz = 1 + i \Rightarrow z(1+i) = 1+i \Rightarrow z = 1\).

Les solutions sont donc \(z \in \{0, 1, -1\}\).

Exercices sans réponse (à traiter)

Exercice 6

On pose \(Z = \frac{z-1}{z+2}\). Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que :

1. \(Z \in \mathbb{R}\).
2. \(Z = 1\).
3. \(Z \in i\mathbb{R}\).

Exercice 7

Soit \(P(z) = z^3 - 2(\sqrt{3} + i)z^2 + 4(1 + \sqrt{3}i)z - 8i\).

1. Vérifier que \(2i\) est une racine de \(P\).
2. Factoriser \(P(z)\) et résoudre \(P(z) = 0\).
3. Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d'affixes respectives \(z_A = \sqrt{3} - i\), \(z_B = \sqrt{3} + i\), \(z_C = 2i\). Montrer que \(OABC\) est un losange.

Exercice 8

Pour tout \(z \in \mathbb{C} \setminus \{i\}\), on pose \(u = \frac{\overline{z}(z-i)}{\overline{z}+i}\).

1. Montrer que \(|u| = |z|\). Pour \(z \neq 0\), montrer aussi que \(\arg u \equiv -\arg z + 2\arg(z-i) \pmod{2\pi}\).
2. Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(u\) soit un nombre réel.
3. Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(u = -i\).