Suites numériques 2bac pc & svt - série n°1

Objectifs

• Maîtriser les notions fondamentales des suites numériques : sens de variation, convergence, limite.
• Savoir étudier une suite définie par récurrence ou par une formule explicite.
• Utiliser le théorème de convergence monotone pour établir la convergence.
• Déterminer la limite d'une suite par différentes méthodes.

Résumé du cours

1. Généralités

• Une suite numérique est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) ou une partie de \(\mathbb{N}\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
• Une suite peut être définie :
  • par une formule explicite : \(u_n = f(n)\).
  • par récurrence : \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0\) donné.

2. Sens de variation

• \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\).
• \((u_n)\) est décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\) pour tout \(n\).
• \((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

3. Suites convergentes

• Une suite \((u_n)\) converge vers un réel \(l\) si \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l\).
• Théorème de convergence monotone :
  • Une suite croissante et majorée converge.
  • Une suite décroissante et minorée converge.
• Théorème des gendarmes : si \(v_n \le u_n \le w_n\) pour tout \(n\) et \(v_n \to l\), \(w_n \to l\), alors \(u_n \to l\).

4. Suites particulières

• Suite arithmétique : \(u_{n+1} = u_n + r\). Terme général : \(u_n = u_0 + nr\).
• Suite géométrique : \(u_{n+1} = q u_n\). Terme général : \(u_n = u_0 q^n\).

Exercices corrigés

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Exercice 1 : Convergence d'une suite récurrente

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0 = \frac{1}{5}, \quad u_{n+1} = \frac{3u_n + 4}{2u_n + 3}, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

1. Montrer que \(0 \le u_n \le 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. Étudier la monotonie de \((u_n)\).
3. Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Solution

1) Encadrement par récurrence :

Initialisation : \(u_0 = \frac{1}{5} \in [0;1]\).

Hérédité : si \(0 \le u_n \le 1\), alors \(3u_n + 4 \ge 0\) et \(2u_n + 3 > 0\).

De plus, \(\displaystyle u_{n+1} - 1 = \frac{3u_n + 4}{2u_n + 3} - 1 = \frac{u_n + 1}{2u_n + 3} \ge 0\), donc \(u_{n+1} \le 1\).

Ainsi \(0 \le u_{n+1} \le 1\). Donc \(0 \le u_n \le 1\) pour tout \(n\).

2) Monotonie :

\(\displaystyle u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 4}{2u_n + 3} - u_n = \frac{-2u_n^2 + 4}{2u_n + 3} = \frac{2(2 - u_n^2)}{2u_n + 3}\).

Comme \(0 \le u_n \le 1\), on a \(u_n^2 \le 1 < 2\), donc \(u_{n+1} - u_n > 0\).

La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Convergence et limite :

\((u_n)\) est croissante et majorée par 1, donc elle converge vers une limite \(l\).

Comme \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) continue sur \([0;1]\), on a \(l = f(l)\), soit :

\(l = \dfrac{3l + 4}{2l + 3} \iff l(2l + 3) = 3l + 4 \iff 2l^2 = 4 \iff l^2 = 2\).

Comme \(l \in [0;1]\), on a \(l = \sqrt{2}\).

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Exercice 2 : Suite définie par \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\)

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0 = \frac{3}{2}, \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

1. Montrer par récurrence que \(0 < u_n < 2\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. Montrer que \(2 - u_{n+1} \le \frac{1}{2}(2 - u_n)\).
4. En déduire que \(2 - u_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
5. Déterminer \(\lim_{n \to +\infty} u_n\).

Solution

1) Encadrement :

Initialisation : \(u_0 = \frac{3}{2} \in ]0;2[\).

Hérédité : si \(0 < u_n < 2\), alors \(0 < \sqrt{u_n + 2} < \sqrt{4} = 2\).

Donc \(0 < u_{n+1} < 2\).

2) Croissance :

\(u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n = \dfrac{u_n + 2 - u_n^2}{\sqrt{u_n + 2} + u_n} = \dfrac{-(u_n - 2)(u_n + 1)}{\sqrt{u_n + 2} + u_n}\).

Comme \(0 < u_n < 2\), on a \(u_n - 2 < 0\) et \(u_n + 1 > 0\), donc \(-(u_n - 2)(u_n + 1) > 0\).

Ainsi \(u_{n+1} - u_n > 0\), donc \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Inégalité :

\(2 - u_{n+1} = 2 - \sqrt{u_n + 2} = \dfrac{4 - u_n - 2}{\sqrt{u_n + 2} + 2} = \dfrac{2 - u_n}{\sqrt{u_n + 2} + 2}\).

Comme \(\sqrt{u_n + 2} > 0\), on a \(\sqrt{u_n + 2} + 2 > 2\), donc

\(2 - u_{n+1} = \dfrac{2 - u_n}{\sqrt{u_n + 2} + 2} < \dfrac{2 - u_n}{2}\).

4) Récurrence :

D'après 3), \(2 - u_n \le \left(\frac{1}{2}\right)(2 - u_{n-1})\).

Par récurrence, on obtient \(2 - u_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n (2 - u_0) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\).

5) Limite :

Comme \(0 \le 2 - u_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\) et \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \to 0\),

par le théorème des gendarmes, \(2 - u_n \to 0\), donc \(u_n \to 2\).

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Exercice 3 : Suite arithmético-géométrique

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0 = \frac{3}{2}, \quad u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2. \]

1. Montrer que \(1 \le u_n \le \frac{3}{2}\) pour tout \(n\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante et convergente.
3. Déterminer \(\lim_{n \to +\infty} u_n\).

Solution

1) Encadrement :

Initialisation : \(u_0 = \frac{3}{2} \in [1;\frac{3}{2}]\).

Hérédité : si \(1 \le u_n \le \frac{3}{2}\), alors \(\frac{1}{2} + 2 \le \frac{1}{2}u_n + 2 \le \frac{3}{4} + 2\).

\(\frac{5}{2} \le u_{n+1} \le \frac{11}{4}\), ce qui ne donne pas le bon encadrement !

En fait, pour une suite de ce type, il faut chercher le point fixe \(l = \frac{1}{2}l + 2 \iff l = 4\).

Posons \(v_n = u_n - 4\). Alors \(v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = \frac{1}{2}u_n + 2 - 4 = \frac{1}{2}(u_n - 4) = \frac{1}{2}v_n\).

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\).

\(v_n = v_0\left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{3}{2} - 4\right)\left(\frac{1}{2}\right)^n = -\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\).

Donc \(u_n = 4 - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\).

2) Monotonie :

\(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 2 - u_n = 2 - \frac{1}{2}u_n = \frac{4 - u_n}{2}\).

Comme \(u_n \le \frac{3}{2} < 4\), on a \(u_{n+1} - u_n > 0\). La suite est croissante.

\(u_n = 4 - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\) est croissante car \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) est décroissante.

Elle est majorée par 4, donc convergente.

3) Limite :

\(\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left(4 - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = 4\).

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Exercice 4 : Suite avec racine cubique

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0 = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{e}}, \quad u_{n+1} = 1 + \sqrt[3]{u_n - 1}. \]

1. Montrer par récurrence que \(1 < u_n < 2\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Solution

1) Encadrement :

Initialisation : \(u_0 = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{e}}\). Comme \(e \approx 2,718\), \(\sqrt[3]{e} \approx 1,395\), donc \(u_0 \approx 1,717 \in ]1;2[\).

Hérédité : si \(1 < u_n < 2\), alors \(0 < u_n - 1 < 1\), donc \(0 < \sqrt[3]{u_n - 1} < 1\).

D'où \(1 < 1 + \sqrt[3]{u_n - 1} < 2\). Donc \(1 < u_{n+1} < 2\).

2) Croissance :

\(u_{n+1} - u_n = 1 + \sqrt[3]{u_n - 1} - u_n = \sqrt[3]{u_n - 1} - (u_n - 1)\).

On pose \(t = \sqrt[3]{u_n - 1} \in ]0;1[\). Alors \(u_n - 1 = t^3\).

\(u_{n+1} - u_n = t - t^3 = t(1 - t^2) > 0\) car \(t \in ]0;1[\).

Donc \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Convergence et limite :

\((u_n)\) est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers \(l \in [1;2]\).

La fonction \(f(x) = 1 + \sqrt[3]{x - 1}\) est continue sur \([1;2]\), donc \(l = f(l)\).

\(l = 1 + \sqrt[3]{l - 1} \iff l - 1 = \sqrt[3]{l - 1} \iff (l - 1)^3 = l - 1\).

Soit \(l - 1 = 0\) ou \((l - 1)^2 = 1\).

Comme \(l \ge 1\), on a \(l = 1\) ou \(l = 2\).

Comme \(u_0 > 1\) et \((u_n)\) est croissante, \(l \ge u_0 > 1\), donc \(l = 2\).

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Exercice 5 : Suite avec logarithme

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0 = \frac{3}{2}, \quad u_{n+1} = 3 - \frac{9}{4u_n}. \]

1. Étudier la fonction \(f(x) = 3 - \frac{9}{4x}\) sur \(]0;+\infty[\).
2. Montrer que \(f(x) = x\) admet des solutions.
3. Étudier la convergence de \((u_n)\).

Solution

1) Étude de \(f\) :

\(f'(x) = \frac{9}{4x^2} > 0\) sur \(]0;+\infty[\).

\(f\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).

\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3\).

2) Point fixe :

\(f(x) = x \iff 3 - \frac{9}{4x} = x \iff 12x - 9 = 4x^2 \iff 4x^2 - 12x + 9 = 0\).

\(\Delta = 144 - 144 = 0\), donc une solution double : \(x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).

3) Convergence :

On a \(u_0 = \frac{3}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

\(u_1 = 3 - \frac{9}{4 \times \frac{3}{2}} = 3 - \frac{9}{6} = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = u_0\).

Donc \((u_n)\) est constante : \(u_n = \frac{3}{2}\) pour tout \(n\).

La suite converge vers \(\frac{3}{2}\).

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Exercice 6 : Suite définie par \(u_{n+1} = 2u_n + \frac{n+2}{n(n+1)}\)

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_1 = 1, \quad u_{n+1} = 2u_n + \frac{n+2}{n(n+1)}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \]

1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\).
2. On pose \(v_n = u_n + \frac{1}{n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
3. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. La suite \((u_n)\) est-elle convergente ?

Solution

1) Calculs :

\(u_2 = 2u_1 + \frac{1+2}{1 \times 2} = 2 \times 1 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}\).

\(u_3 = 2u_2 + \frac{2+2}{2 \times 3} = 2 \times \frac{7}{2} + \frac{4}{6} = 7 + \frac{2}{3} = \frac{23}{3}\).

2) Suite géométrique :

\(v_{n+1} = u_{n+1} + \frac{1}{n+1} = 2u_n + \frac{n+2}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1}\).

\(\frac{n+2}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1} = \frac{n+2 + n}{n(n+1)} = \frac{2n + 2}{n(n+1)} = \frac{2}{n}\).

Donc \(v_{n+1} = 2u_n + \frac{2}{n} = 2\left(u_n + \frac{1}{n}\right) = 2v_n\).

\((v_n)\) est géométrique de raison 2.

3) Expression :

\(v_1 = u_1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2\).

Donc \(v_n = v_1 \times 2^{n-1} = 2^n\).

Comme \(v_n = u_n + \frac{1}{n}\), on a \(u_n = 2^n - \frac{1}{n}\).

4) Convergence :

\(\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left(2^n - \frac{1}{n}\right) = +\infty\).

La suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).