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Calcul intégral - 2bac pc & svt

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Calcul intégral - 2bac pc & svt

Module : Analyse • Niveau : lycee • Leçon #32
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Objectifs

  • Maîtriser la notion d'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle.
  • Savoir calculer des intégrales à l'aide des primitives.
  • Utiliser les propriétés de l'intégrale (linéarité, relation de Chasles, etc.).
  • Maîtriser la technique d'intégration par parties.
  • Calculer des aires et des volumes à l'aide d'intégrales.

I. Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle

1. Définition et notation

Définition : Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a, b \in I\). Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors le nombre réel \(F(b) - F(a)\) ne dépend pas du choix de la primitive \(F\). On l'appelle intégrale de \(f\) de \(a\) à \(b\) et on le note : \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]
On note souvent : \[ \int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a). \]
Exemple : \[ \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2. \]

2. Propriétés fondamentales

Pour toute fonction \(f\) continue sur \(I\) et pour tous \(a, b, c \in I\) :
  • \(\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0\).
  • \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx\).
  • \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\) (relation de Chasles).
Linéarité : Pour toutes fonctions \(f, g\) continues sur \([a;b]\) et pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\) : \[ \int_a^b (\lambda f(x) + g(x))\,dx = \lambda \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx. \]
Exemple : Calculer \(\displaystyle I = \int_{-1}^1 |x|\,dx\). \[ I = \int_{-1}^0 (-x)\,dx + \int_0^1 x\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. \]

3. Fonction intégrale

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). La fonction définie par : \[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \] est la primitive de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(a\). On a donc \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\).
Exemple : \(\displaystyle \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt\) pour tout \(x > 0\).

II. Techniques de calcul d'intégrales

1. Utilisation directe des primitives

Exemples :
  • \(\displaystyle \int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \left[\frac{1}{3}(\ln x)^3\right]_1^e = \frac{1}{3}\).
  • \(\displaystyle \int_0^{\pi/4} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\).

2. Intégration par parties

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([a;b]\) avec \(u'\) et \(v'\) continues, alors : \[ \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx. \] Ou de façon équivalente : \[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx. \]
Exemple : Calculer \(\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx\).
Posons \(u(x) = x\) et \(v'(x) = \cos x\). Alors \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = \sin x\).
\[ I = \Big[x\sin x\Big]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x\,dx = \frac{\pi}{2} - \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 1. \]

III. Comparaison et encadrement d'intégrales

1. Conservation du signe

Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) avec \(a \le b\) et \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in [a;b]\), alors : \[ \int_a^b f(x)\,dx \ge 0. \]

2. Comparaison de deux intégrales

Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \([a;b]\) avec \(a \le b\) et \(f(x) \le g(x)\) pour tout \(x \in [a;b]\), alors : \[ \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx. \]
  • \(\displaystyle \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx\).
  • Si \(m \le f(x) \le M\) sur \([a;b]\), alors : \[ m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a). \]
Exemple : Pour \(I = \displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x}\,dx\).
Pour \(x \in [0;1]\), on a \(\frac{x^2}{2} \le \frac{x^2}{1+x} \le x^2\).
Donc \(\displaystyle \frac{1}{6} \le I \le \frac{1}{3}\).

3. Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est le réel : \[ \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), il existe \(c \in [a;b]\) tel que : \[ f(c) = \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]

IV. Calculs d'aires et de volumes

1. Aire d'un domaine plan

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\). L'aire du domaine compris entre la courbe \((C_f)\), l'axe des abscisses et les droites \(x = a\) et \(x = b\) est : \[ \mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx. \]
L'aire du domaine compris entre les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) et les droites \(x = a\) et \(x = b\) est : \[ \mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx. \]
Exemple : Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de \(f(x) = x^3 - 1\), l'axe des abscisses, et les droites \(x = 0\) et \(x = 2\).
\(\displaystyle \mathcal{A} = \int_0^2 |x^3 - 1|\,dx = \int_0^1 (1 - x^3)\,dx + \int_1^2 (x^3 - 1)\,dx = \frac{3}{4} + \frac{11}{4} = \frac{7}{2}\) unités d'aire.

2. Volume d'un solide

Soit \(S\) un solide compris entre les plans \(z = a\) et \(z = b\). Si \(S(t)\) est l'aire de la section du solide par le plan \(z = t\) et si la fonction \(t \mapsto S(t)\) est continue, alors le volume du solide est : \[ V = \int_a^b S(t)\,dt. \]
Le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe \((C_f)\) autour de l'axe des abscisses, pour \(x \in [a;b]\), est : \[ V = \int_a^b \pi [f(t)]^2\,dt. \]

V. Exercices corrigés

Exercice 1 : Calcul d'intégrales simples

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \(\displaystyle I = \int_0^1 (3x^2 + 2x - 1)\,dx\)
  2. \(\displaystyle J = \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx\)
  3. \(\displaystyle K = \int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\,dx\)

Solutions

1) \(I = \displaystyle \int_0^1 (3x^2 + 2x - 1)\,dx\)

\(I = \Big[x^3 + x^2 - x\Big]_0^1 = 1 + 1 - 1 = 1\).

2) \(J = \displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx\)

On pose \(u(x) = \ln x\). Alors \(u'(x) = \frac{1}{x}\).

\(J = \displaystyle \int_1^e u'(x)u(x)\,dx = \left[\frac{1}{2}(\ln x)^2\right]_1^e = \frac{1}{2}\).

3) \(K = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\,dx\)

On pose \(u(x) = \sin x\). Alors \(u'(x) = \cos x\).

\(K = \displaystyle \int_0^{\pi/2} u'(x)u(x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin^2 x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2}\).

Exercice 2 : Intégration par parties

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \(\displaystyle I = \int_0^1 x e^x\,dx\)
  2. \(\displaystyle J = \int_1^e x \ln x\,dx\)

Solutions

1) \(I = \displaystyle \int_0^1 x e^x\,dx\)

Posons \(u(x) = x\) et \(v'(x) = e^x\). Alors \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = e^x\).

\(I = \Big[x e^x\Big]_0^1 - \displaystyle \int_0^1 e^x\,dx = e - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e - 1) = 1\).

2) \(J = \displaystyle \int_1^e x \ln x\,dx\)

Posons \(u(x) = \ln x\) et \(v'(x) = x\). Alors \(u'(x) = \frac{1}{x}\) et \(v(x) = \frac{x^2}{2}\).

\(J = \displaystyle \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\int_1^e x\,dx\).

\(J = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4}(e^2 - 1) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}\).

Exercice 3 : Aire d'un domaine

Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de \(f(x) = x^2 - 1\), l'axe des abscisses, et les droites \(x = -2\) et \(x = 2\).

Solution

\(\displaystyle \mathcal{A} = \int_{-2}^2 |x^2 - 1|\,dx\).

Sur \([-2;-1]\), \(x^2 - 1 \ge 0\). Sur \([-1;1]\), \(x^2 - 1 \le 0\). Sur \([1;2]\), \(x^2 - 1 \ge 0\).

\(\mathcal{A} = \displaystyle \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1)\,dx + \int_{-1}^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx\).

\(\mathcal{A} = \displaystyle \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{-1} + \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 + \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_1^2\).

\(\mathcal{A} = \left(\frac{4}{3}\right) + \left(\frac{4}{3}\right) + \left(\frac{4}{3}\right) = 4\) unités d'aire.

Exercice 4 : Valeur moyenne

Déterminer la valeur moyenne de la fonction \(f(x) = \sin x\) sur l'intervalle \([0;\pi]\).

Solution

\(\mu = \displaystyle \frac{1}{\pi - 0}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\Big[-\cos x\Big]_0^\pi = \frac{1}{\pi}(-\cos\pi + \cos 0) = \frac{1}{\pi}(1 + 1) = \frac{2}{\pi}\).

Exercice 5 : Volume d'un solide de révolution

Déterminer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe de \(f(x) = \sqrt{x}\) autour de l'axe des abscisses, pour \(x \in [0;1]\).

Solution

\(V = \displaystyle \int_0^1 \pi (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^1 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}\) unités de volume.

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