Nombres complexes — 2BAC PC
Parcours interactif premium avec cours, exemples, exercices, corrections et mode examen.
mohamed Lagzouli
Créateur de ce parcours interactif.
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Nombres complexes — 2BAC PC
Ce parcours est conçu pour consolider puis maîtriser les outils essentiels sur les nombres complexes au niveau 2BAC Sciences Physiques.
Objectifs du parcours
- Passer avec aisance entre forme algébrique, trigonométrique et exponentielle.
- Utiliser le conjugué, le module et l’argument dans les calculs et les démonstrations.
- Résoudre des équations dans l’ensemble des nombres complexes et exploiter les racines de l’unité.
- Traduire rotations, translations, homothéties et similitudes par des écritures complexes.
- Déterminer et interpréter des ensembles de points définis par des conditions sur les modules et les arguments.
- Mobiliser ces techniques dans des exercices de niveau examen.
Prérequis
- Calcul algébrique et équations du second degré.
- Trigonométrie usuelle et angles orientés.
- Repérage du plan et bases de géométrie vectorielle.
Organisation
- Cours essentiel : définitions, propriétés et méthodes indispensables.
- Exemples guidés : applications commentées étape par étape.
- Exercices interactifs : entraînement progressif avec correction.
- Mode examen : synthèse finale dans l’esprit du 2BAC PC.
Conseil : commence par refaire mentalement chaque étape d’un exemple avant d’afficher sa correction. L’objectif est de savoir choisir la bonne représentation d’un nombre complexe selon la situation.
Cours essentiel
Cours essentiel — Nombres complexes
1. Formes et opérations
- Forme algébrique : \(z = x + iy\) avec \(x, y \in \mathbb{R}\).
- Conjugué : \(\overline{z} = x - iy\).
- Module : \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\overline{z}}\).
- Argument : \(\arg(z)\) est l'angle \(\theta\) tel que \(z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)\).
- Forme exponentielle : \(z = |z| e^{i\theta}\).
2. Équations dans C
Une équation du second degré \(az^2 + bz + c = 0\) (avec \(a,b,c \in \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) se résout en utilisant le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Si \(\Delta \in \mathbb{C}\), les solutions sont \(z = \frac{-b \pm \delta}{2a}\) où \(\delta\) est une racine carrée de \(\Delta\).
- Si \(\Delta \in \mathbb{R}\), on utilise les formules usuelles.
3. Racines n-ièmes de l'unité
Les solutions de \(z^n = 1\) sont les \(n\) nombres complexes : \[ z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1. \]
4. Transformations du plan
- Translation de vecteur d'affixe \(b\) : \(z' = z + b\).
- Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) : \(z' = e^{i\theta} z\).
- Rotation de centre \(\Omega(a)\) et d'angle \(\theta\) : \(z' - a = e^{i\theta}(z - a)\).
- Homothétie de centre \(\Omega(a)\) et de rapport \(k \in \mathbb{R}\) : \(z' - a = k(z - a)\).
- Similitude directe : \(z' = \alpha z + \beta\) avec \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\), \(\alpha \neq 0\).
5. Ensembles de points
- Cercle de centre \(A(a)\) et de rayon \(r > 0\) : \(|z - a| = r\).
- Médiatrice de \([AB]\) : \(|z - a| = |z - b|\).
- Demi-droite d'angle \(\theta\) : \(\arg(z - a) = \theta \pmod{2\pi}\).
Exemples guidés
Exemples guidés — Nombres complexes
Travaille chaque exemple avant d’afficher sa correction. Les cinq situations proviennent de la leçon source corrigée et couvrent calcul algébrique, forme exponentielle, transformations et équations complexes.
Exemple guidé 1
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 2z + 4 = 0\).
Exemple guidé 2
Soit \(P(z) = z^3 + (3 - i)z^2 + (6 - 2i)z + 4 - 4i\). Vérifier que \(z_0 = -1 + i\) est solution, puis factoriser \(P(z)\).
Exemple guidé 3
Montrer que \(1 + e^{i\theta} = 2e^{i\theta/2}\cos\frac{\theta}{2}\).
Exemple guidé 4
Dans le plan complexe, on donne \(A\) d'affixe \(a = \frac{3}{7}i\) et \(B\) d'affixe \(b = -\frac{3\sqrt{3}}{14} + \frac{3}{14}i\). Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).
- Déterminer l'écriture complexe de \(R\).
- Montrer que \(R(A) = B\) et en déduire la nature du triangle \(OAB\).
Exemple guidé 5
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(\left(\frac{z-i}{z+i}\right)^4 = 1\).
Corrections des exemples guidés
Correction — Exemple 1
\(\Delta = 4 - 16 = -12 = (2i\sqrt{3})^2\). Les solutions sont : \[ z_1 = -1 + i\sqrt{3}, \quad z_2 = -1 - i\sqrt{3}. \]
Correction — Exemple 2
On calcule \(P(-1+i) = 0\). La factorisation donne : \[ P(z) = (z + 1 - i)(z^2 + 2z + 4). \] Les solutions sont donc \(z_0 = -1 + i\), \(z_1 = -1 + i\sqrt{3}\) et \(z_2 = -1 - i\sqrt{3}\).
Correction — Exemple 3
\(1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}) = e^{i\theta/2}\left(2\cos\frac{\theta}{2}\right)\).
En déduire que \(z = \frac{e^{2i\theta} - 1}{e^{2i\theta} + 1} = i\tan\theta\).
En effet, \(z = \frac{e^{i\theta}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})}{e^{i\theta}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} = \frac{2i\sin\theta}{2\cos\theta} = i\tan\theta\).
Correction — Exemple 4
- \(R\) a pour écriture complexe : \(z' = e^{i\pi/3} z = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z\).
- On vérifie que \(e^{i\pi/3} \times \frac{3}{7}i = -\frac{3\sqrt{3}}{14} + \frac{3}{14}i = b\). Comme \(OA = OB\) et \(\widehat{AOB} = \frac{\pi}{3}\), le triangle \(OAB\) est équilatéral.
Correction — Exemple 5
On pose \(u = \frac{z-i}{z+i}\). L'équation devient \(u^4 = 1\) donc \(u \in \{1, i, -1, -i\}\).
- Si \(u = 1\) : \(\frac{z-i}{z+i} = 1 \Rightarrow z-i = z+i \Rightarrow -i = i\), impossible.
- Si \(u = -1\) : \(\frac{z-i}{z+i} = -1 \Rightarrow z-i = -z - i \Rightarrow 2z = 0 \Rightarrow z = 0\).
- Si \(u = i\) : \(\frac{z-i}{z+i} = i \Rightarrow z-i = i(z+i) = iz - 1 \Rightarrow z - iz = i - 1 \Rightarrow z(1-i) = i-1 \Rightarrow z = -1\).
- Si \(u = -i\) : \(\frac{z-i}{z+i} = -i \Rightarrow z-i = -i(z+i) = -iz + 1 \Rightarrow z + iz = 1 + i \Rightarrow z(1+i) = 1+i \Rightarrow z = 1\).
Les solutions sont donc \(z \in \{0, 1, -1\}\).
Exercices sans réponse (à traiter)
Exercices interactifs
Exercices interactifs — Nombres complexes
Les trois exercices suivants reprennent les énoncés 6 à 8 de la leçon #87 corrigée. Cherche chaque question avant d'afficher la correction.
Exercice 6 — Lieux géométriques
On pose \[ Z=\frac{z-1}{z+2},\qquad z\neq-2. \] Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que :
- \(Z\in\mathbb{R}\) ;
- \(Z=1\) ;
- \(Z\in i\mathbb{R}\).
Exercice 7 — Polynôme et géométrie complexe
Soit \[ P(z)=z^3-2(\sqrt3+i)z^2+4(1+\sqrt3\,i)z-8i. \]
- Vérifier que \(2i\) est une racine de \(P\).
- Factoriser \(P(z)\) et résoudre \(P(z)=0\).
- Dans le plan complexe, on considère \(A\), \(B\), \(C\) d'affixes \[ z_A=\sqrt3-i,\qquad z_B=\sqrt3+i,\qquad z_C=2i. \] Montrer que \(OABC\) est un losange.
Exercice 8 — Module, argument et lieu
Pour tout \[ z\in\mathbb{C}\setminus\{i\}, \] on pose \[ u=\frac{\overline z\,(z-i)}{\overline z+i}. \]
- Montrer que \(|u|=|z|\). Pour \(z\neq0\), montrer aussi que \[ \arg u\equiv-\arg z+2\arg(z-i)\pmod{2\pi}. \]
- Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(u\) soit réel.
- Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(u=-i\).
Corrections — Exercices interactifs
Note pédagogique : les énoncés 6 à 8 proviennent de la leçon #87. Les corrections ci-dessous constituent une extension pédagogique MathMaroc ajoutée au parcours.
Correction — Exercice 6
On pose \(Z=\frac{z-1}{z+2}\), avec \(z\neq -2\).
- Condition \(Z\in\mathbb{R}\). Pour \(z\neq1,-2\), le quotient est réel si et seulement si les vecteurs d'affixes \(z-1\) et \(z+2\) sont colinéaires. Les points \(M(z)\), \(A(1)\) et \(B(-2)\) sont donc alignés. Le cas \(z=1\) donne \(Z=0\), qui est réel. Ainsi, l'ensemble cherché est la droite réelle \((AB)\), privée du point \(B\) d'affixe \(-2\).
- Condition \(Z=1\). L'égalité \(\frac{z-1}{z+2}=1\) donnerait \(z-1=z+2\), soit \(-1=2\), impossible. Il n'y a donc aucune solution.
- Condition \(Z\in i\mathbb{R}\). Écrivons \(z=x+iy\). On a \[ \operatorname{Re}(Z)=\frac{(x-1)(x+2)+y^2}{(x+2)^2+y^2}. \] La condition \(\operatorname{Re}(Z)=0\) équivaut à \[ x^2+x+y^2-2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left(x+\frac12\right)^2+y^2=\frac94. \] L'ensemble cherché est donc le cercle de centre d'affixe \(-\frac12\) et de rayon \(\frac32\), privé du point \(B(-2)\) où \(Z\) n'est pas défini.
Correction — Exercice 7
Pour \[ P(z)=z^3-2(\sqrt3+i)z^2+4(1+\sqrt3\,i)z-8i, \] on vérifie directement que \(P(2i)=0\). On obtient alors \[ P(z)=(z-2i)(z^2-2\sqrt3\,z+4). \] Le second facteur a pour discriminant \[ \Delta=(-2\sqrt3)^2-16=-4=(2i)^2. \] Ainsi, \[ z\in\{\,2i,\ \sqrt3-i,\ \sqrt3+i\,\}. \] Avec \(z_A=\sqrt3-i\), \(z_B=\sqrt3+i\) et \(z_C=2i\), \[ OA=|z_A|=2,\qquad AB=|z_B-z_A|=2, \] \[ BC=|z_C-z_B|=|-\sqrt3+i|=2,\qquad CO=|z_C|=2. \] Les quatre côtés du quadrilatère \(OABC\) ont donc la même longueur : \(OABC\) est un losange.
Correction — Exercice 8
La définition corrigée issue de la leçon #87 est \[ u=\frac{\overline z\,(z-i)}{\overline z+i}, \qquad z\in\mathbb{C}\setminus\{i\}. \] Or \[ \overline z+i=\overline{z-i}. \] Par conséquent, \[ |u|=|\overline z|\,\frac{|z-i|}{|\overline{z-i}|}=|z|. \] Si \(z\neq0\), on a aussi \[ \arg u\equiv-\arg z+2\arg(z-i)\pmod{2\pi}. \]
- Lorsque \(u\) est réel. Pour \(z=x+iy\neq i\), un calcul de la partie imaginaire donne \[ \operatorname{Im}(u)= \frac{y(x^2+y^2+1)-2(x^2+y^2)} {x^2+(y-1)^2}. \] Donc \(u\in\mathbb{R}\) si et seulement si \[ y(x^2+y^2+1)=2(x^2+y^2), \] avec le point \(z=i\) exclu. Cette équation cartésienne décrit exactement le lieu demandé ; elle contient notamment \(z=0\), pour lequel \(u=0\).
- Lorsque \(u=-i\). L'égalité impose d'abord \(|z|=|u|=1\). Réciproquement, si \(|z|=1\) et \(z\neq i\), alors \(\overline z=\frac1z\) et \[ u=\frac{(1/z)(z-i)}{1/z+i} =\frac{z-i}{1+iz} =\frac{z-i}{i(z-i)} =-i. \] L'ensemble cherché est donc le cercle unité \(|z|=1\), privé du point d'affixe \(i\).
Mode examen
Mode examen — Synthèse Nombres complexes
Travaille sans consulter les corrections. Le barème est indicatif et totalise 20 points. Les exercices mobilisent les compétences essentielles du chapitre au niveau 2BAC PC.
Exercice 1 — Calcul algébrique et équation (6 points)
On considère \(z = 1-i\sqrt{3}\).
- Déterminer le module et un argument de \(z\). En déduire sa forme exponentielle.
- Calculer \(z^6\).
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(w^2-2w+4=0\).
Exercice 2 — Racines de l'unité et géométrie (6 points)
On note \(\omega=e^{2i\pi/3}\).
- Montrer que \(1+\omega+\omega^2=0\).
- Calculer \(|1-\omega|\).
- Dans le plan complexe, on considère les points \(A(1)\), \(B(\omega)\) et \(C(\omega^2)\). Déterminer la nature du triangle \(ABC\).
Exercice 3 — Transformation et lieu géométrique (8 points)
On considère la transformation \(T\) définie par \(z' = iz + 1-i\).
- Déterminer le point fixe \(\Omega\) de \(T\).
- Écrire \(z'-\omega_0\) en fonction de \(z-\omega_0\), où \(\omega_0\) est l'affixe de \(\Omega\), puis identifier la nature de \(T\).
- On fixe le point \(A\) d'affixe \(2+i\). Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-(2+i)|=2\).
- Déterminer l'image de cet ensemble par \(T\).
Consigne finale : justifier les étapes importantes et conserver des écritures exactes.
Correction — Mode examen
Cette correction constitue une extension pédagogique MathMaroc construite pour le Pack #9.
Exercice 1 — Correction
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\(z=1-i\sqrt{3}\). Son module vaut
\[ |z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2. \]
Comme \(\cos(-\pi/3)=1/2\) et \(\sin(-\pi/3)=-\sqrt{3}/2\), on obtient
\[ z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{-i\pi/3}. \]
-
\[ z^6=\left(2e^{-i\pi/3}\right)^6=2^6e^{-2i\pi}=64. \]
-
Pour \(w^2-2w+4=0\), le discriminant est
\[ \Delta=(-2)^2-4\times1\times4=4-16=-12=(2i\sqrt{3})^2. \]
Donc
\[ w=\frac{2\pm2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}. \]
Exercice 2 — Correction
-
Comme \(\omega^3=1\) et \(\omega\neq1\),
\[ \omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0. \]
Ainsi
\[ 1+\omega+\omega^2=0. \]
-
On a \(\omega=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\), donc
\[ 1-\omega=\frac32-i\frac{\sqrt3}{2} \]
et
\[ |1-\omega|=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt3. \]
-
Les trois affixes \(1,\omega,\omega^2\) sont les trois racines cubiques de l'unité, situées sur le cercle unité et espacées d'un angle \(2\pi/3\).
De plus,
\[ AB=|1-\omega|=\sqrt3,\qquad BC=|\omega-\omega^2|=\sqrt3,\qquad CA=|\omega^2-1|=\sqrt3. \]
Le triangle \(ABC\) est donc équilatéral.
Exercice 3 — Correction
-
Le point fixe \(\Omega\) vérifie
\[ z=iz+1-i. \]
Donc
\[ (1-i)z=1-i, \]
d'où
\[ \omega_0=1. \]
-
Comme \(\omega_0=1\),
\[ z'-1=iz+1-i-1=i(z-1). \]
Le coefficient multiplicatif est \(i=e^{i\pi/2}\), de module \(1\) et d'argument \(\pi/2\). Ainsi \(T\) est la rotation de centre \(\Omega(1)\) et d'angle \(\pi/2\).
-
La condition
\[ |z-(2+i)|=2 \]
définit le cercle de centre \(A\) d'affixe \(2+i\) et de rayon \(2\).
-
Une rotation conserve les distances. L'image est donc un cercle de rayon \(2\), dont le centre est \(T(A)\).
Pour \(a=2+i\),
\[ a'=i(2+i)+1-i=2i+i^2+1-i=i. \]
L'image du cercle est donc le cercle de centre d'affixe \(i\) et de rayon \(2\), c'est-à-dire
\[ |z-i|=2. \]
Barème indicatif : Exercice 1 : 6 points ; Exercice 2 : 6 points ; Exercice 3 : 8 points.