Dérivation - pc & svt
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Dérivation - pc & svt
Objectifs du chapitre
- Maîtriser la notion de nombre dérivé et de fonction dérivée.
- Savoir calculer la dérivée des fonctions usuelles et des composées.
- Étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée.
- Déterminer les extrema et les points d'inflexion d'une courbe.
- Connaître les asymptotes et les branches paraboliques.
I. Rappels et compléments sur la dérivation
1. Nombre dérivé – Fonction dérivée
2. Équation de la tangente
\(f(2) = 4 - 6 + 1 = -1\).
\(f'(x) = 2x - 3\), donc \(f'(2) = 4 - 3 = 1\).
L'équation est : \(y = 1(x - 2) - 1 = x - 3\).
3. Approximation affine locale
4. Tableau des dérivées des fonctions usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Intervalle de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\) | \(n x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0; +\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\) |
II. Opérations sur les fonctions dérivables
- \((f + g)' = f' + g'\)
- \((\lambda f)' = \lambda f'\) pour \(\lambda \in \mathbb{R}\)
- \((fg)' = f'g + fg'\)
- \(\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}\) si \(g(x) \neq 0\) sur \(I\)
- \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\) si \(g(x) \neq 0\) sur \(I\)
Dérivée de la composée de deux fonctions
Dérivée de la fonction réciproque
Dérivées des fonctions \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) et \(x \mapsto x^r\)
- Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(\displaystyle (\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}\) sur \(]0; +\infty[\).
- Pour \(r \in \mathbb{Q}\) : \(\displaystyle (x^r)' = r x^{r-1}\) sur \(]0; +\infty[\).
\(f'(x) = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\).
III. Primitives d'une fonction
Tableau des primitives usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(]0; +\infty[\) ou \(]-\infty; 0[\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(]0; +\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(1 + \tan^2 x\) | \(\tan x + C\) | \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}\) |
IV. Asymptotes et branches paraboliques
1. Asymptote verticale
2. Asymptote horizontale
3. Asymptote oblique
- On calcule \(a = \displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\).
- Si \(a\) est fini, on calcule \(b = \displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax)\).
- Si \(b\) est fini, alors \(y = ax + b\) est une asymptote oblique.
4. Branches paraboliques
- Si \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\), alors \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
- Si \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty\), alors \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
- Si \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \in \mathbb{R}^*\) et \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = \pm\infty\), alors \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y = ax\).
V. Concavité et points d'inflexion
- \((C_f)\) est convexe sur \(I\) si \(f''(x) \geq 0\) pour tout \(x \in I\).
- \((C_f)\) est concave sur \(I\) si \(f''(x) \leq 0\) pour tout \(x \in I\).
- Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité. En ce point, \(f''(x_0) = 0\) et \(f''\) change de signe.
VI. Symétries d'une courbe
- La droite \(x = a\) est un axe de symétrie de \((C_f)\) si : \[ \forall x \in D_f, \quad 2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = f(x). \]
- Le point \(\Omega(a, b)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\) si : \[ \forall x \in D_f, \quad 2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = 2b - f(x). \]
Exercices corrigés
Exercice 1 : Calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)
- \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\)
- \(f(x) = \sin(2x + 1)\)
- \(f(x) = \sqrt{3x^2 + 1}\)
Solutions
1) \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)
\(f'(x) = 3x^2 - 4x + 5\)
2) \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\)
\(f'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}\)
3) \(f(x) = \sin(2x + 1)\)
\(f'(x) = 2\cos(2x + 1)\)
4) \(f(x) = \sqrt{3x^2 + 1}\)
\(f'(x) = \dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2 + 1}} = \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}\)
Exercice 2 : Étude de fonction
Soit \(f(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x\).
- Déterminer \(D_f\) et calculer les limites aux bornes.
- Calculer \(f'(x)\) et étudier le signe de \(f'\).
- Dresser le tableau de variations de \(f\).
- Déterminer les extremums locaux.
Solution
1) Domaine et limites :
\(f\) est un polynôme, donc \(D_f = \mathbb{R}\).
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) (terme dominant \(x^4\)).
2) Dérivée :
\(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 2x + 2 = 2(2x^3 - 3x^2 - x + 1)\).
On cherche les racines : \(x = 1\) est racine car \(2 - 3 - 1 + 1 = -1\) ? Vérifions : \(2(1)^3 - 3(1)^2 - 1 + 1 = 2 - 3 - 1 + 1 = -1\). Donc \(x = 1\) n'est pas racine.
Après factorisation, on trouve \(f'(x) = 2(x - 1)(2x^2 - x - 1)\).
\(2x^2 - x - 1 = 0 \iff x = 1\) ou \(x = -\frac{1}{2}\).
Donc \(f'(x) = 2(x - 1)^2(2x + 1)\).
3) Signe de \(f'\) :
\((x - 1)^2 \geq 0\), donc le signe de \(f'\) est celui de \(2x + 1\).
\(f'\) est négative sur \(]-\infty; -\frac{1}{2}[\) et positive sur \(]-\frac{1}{2}; +\infty[\).
\(f\) est décroissante sur \(]-\infty; -\frac{1}{2}]\) et croissante sur \([-\frac{1}{2}; +\infty[\).
4) Extremums :
\(f\) admet un minimum local en \(x = -\frac{1}{2}\).
\(f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{16} - 1 = -\frac{15}{16}\).
Exercice 3 : Asymptotes
Soit \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}\).
- Déterminer \(D_f\).
- Déterminer les asymptotes de \((C_f)\).
Solution
1) Domaine : \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
2) Asymptotes :
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{2 - 3 + 1}{0^+} = \frac{0}{0^+}\) est une forme indéterminée.
On factorise : \(2x^2 - 3x + 1 = (x - 1)(2x - 1)\).
Donc \(f(x) = 2x - 1\) pour \(x \neq 1\).
\(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 1\). Donc il n'y a pas d'asymptote verticale (la fonction est prolongeable par continuité en 1).
\(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (2x - 1) = \pm\infty\).
On a \(f(x) - (2x - 1) = 0\), donc la droite \(y = 2x - 1\) est asymptote oblique.
Exercice 4 : Primitive
Déterminer une primitive de \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution
\(F(x) = x^3 + x^2 - x + C\), où \(C \in \mathbb{R}\).
Par exemple, pour \(C = 0\), \(F(x) = x^3 + x^2 - x\).