Continuité d'une fonction numérique - 2bac pc & svt

Objectifs

• Maîtriser la notion de continuité d'une fonction numérique en un point et sur un intervalle.
• Comprendre les propriétés des fonctions continues et leurs opérations.
• Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et ses applications.
• Étudier la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone.
• Connaître la fonction racine n-ième et ses propriétés.

I. Continuité en un point – Continuité sur un intervalle

1. Continuité en un point

Continuité à droite – Continuité à gauche

Exemple d'étude de continuité

Soit \(f\) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(3x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 3 & \text{si } x = 0 \end{cases} \]

On a \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} = 3 = f(0)\). Donc \(f\) est continue en 0.

2. Continuité sur un intervalle

Continuité des fonctions usuelles

• Les polynômes sont continus sur \(\mathbb{R}\).
• Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.
• Les fonctions \(x \mapsto \sin x\), \(x \mapsto \cos x\), \(x \mapsto \tan x\) sont continues sur leur domaine de définition.
• La fonction \(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\).

Fonction partie entière

• \(E\) est continue à droite en tout entier \(n \in \mathbb{Z}\).
• \(E\) est discontinue en tout entier \(n \in \mathbb{Z}\).
• \(E\) est continue sur tout intervalle \([n; n+1[\).

3. Restriction d'une fonction

II. Opérations sur les fonctions continues

Continuité de la composée de deux fonctions

Résultat important

Si \(f\) est continue et positive sur \(I\), alors la fonction \(x \mapsto \sqrt{f(x)}\) est continue sur \(I\).

III. Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Cas d'une fonction continue et strictement monotone

Tableau récapitulatif des images

\(f\) strictement croissante	\(f\) strictement décroissante
\(f([a;b]) = [f(a); f(b)]\)	\(f([a;b]) = [f(b); f(a)]\)
\(f([a;b[) = [f(a); \lim_{x \to b^-} f(x)[\)	\(f([a;b[) = ]\lim_{x \to b^-} f(x); f(a)]\)
\(f([a;+\infty[) = [f(a); \lim_{x \to +\infty} f(x)[\)	\(f([a;+\infty[) = ]\lim_{x \to +\infty} f(x); f(a)]\)

IV. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Propriétés de la fonction réciproque

• \(f^{-1}\) est continue sur \(f(I)\).
• \(f^{-1}\) est strictement monotone sur \(f(I)\), de même sens de variation que \(f\).
• Les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).

V. Fonction racine \(n\)-ième

1. Définition

Propriétés

• \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \quad [\sqrt[n]{x}]^n = x\) et \(\sqrt[n]{x^n} = x\).
• \(\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x = y\).
• La fonction \(\sqrt[n]{\cdot}\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\).
• \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty\).

Opérations sur les racines \(n\)-ièmes

\[ \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}, \quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \neq 0), \] \[ \sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[np]{a}, \quad [\sqrt[n]{a}]^p = \sqrt[n]{a^p}. \]

2. Puissance rationnelle

Propriétés

Pour \(a, b > 0\) et \(r, r' \in \mathbb{Q}\) :

\[ a^r \times a^{r'} = a^{r+r'}, \quad a^r \times b^r = (ab)^r, \quad (a^r)^{r'} = a^{rr'}, \] \[ a^{-r} = \frac{1}{a^r}, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}. \]

VI. Méthode de dichotomie

Exercices

Exercice 1 : Étude de continuité

Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0\) dans les cas suivants :

1. \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(3x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 3 & \text{si } x = 0 \end{cases}\), \(x_0 = 0\).
2. \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \leq 1 \\ \dfrac{1}{2x} & \text{si } x > 1 \end{cases}\), \(x_0 = 1\).

Solutions

1) En \(x_0 = 0\) :

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3 = f(0)\).

Donc \(f\) est continue en 0.

2) En \(x_0 = 1\) :

\(f(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 3\).

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{2x} = \dfrac{1}{2}\).

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 3\).

Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc \(f\) n'est pas continue en 1.

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Exercice 2 : TVI

Montrer que l'équation \(2\sin x = x\) admet une solution dans \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]\).

Solution

Soit \(f(x) = 2\sin x - x\). \(f\) est continue sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]\).

\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2 \times 1 - \dfrac{\pi}{2} \approx 0,43 > 0\).

\(f(\pi) = 2 \times 0 - \pi = -\pi < 0\).

Donc \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot f(\pi) < 0\). D'après le TVI, l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(\left]\dfrac{\pi}{2}; \pi\right[\).

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Exercice 3 : Fonction réciproque

Soit \(f(x) = (1 + x^2)^2\) définie sur \(I = ]-\infty; 1]\).

1. Montrer que \(f\) est une bijection de \(I\) vers un intervalle \(J\) et déterminer \(J\).
2. Calculer \(f^{-1}(x)\).

Solutions

1) Bijection :

\(f'(x) = 4x(1+x^2) \leq 0\) sur \(]-\infty; 1]\). Donc \(f\) est strictement décroissante.

\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\) et \(f(1) = 4\).

Donc \(f(I) = [4; +\infty[ = J\).

2) Calcul de \(f^{-1}\) :

Soit \(y = f(x) = (1+x^2)^2\). Alors \(\sqrt{y} = 1 + x^2\) (car \(y \geq 4\)).

\(x^2 = \sqrt{y} - 1\). Comme \(x \leq 1\), on prend \(x = -\sqrt{\sqrt{y} - 1}\).

Donc \(f^{-1}(y) = -\sqrt{\sqrt{y} - 1}\) pour \(y \in [4; +\infty[\).

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Exercice 4 : Racine \(n\)-ième

Simplifier et calculer :

1. \(\sqrt[3]{4} \times \sqrt[8]{8} \times \sqrt[5]{2}\)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+8} - 2}{x}\)

Solutions

1) Simplification :

\(\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 2^{2/3}\).

\(\sqrt[8]{8} = 8^{1/8} = (2^3)^{1/8} = 2^{3/8}\).

\(\sqrt[5]{2} = 2^{1/5}\).

Donc \(2^{2/3} \times 2^{3/8} \times 2^{1/5} = 2^{2/3 + 3/8 + 1/5} = 2^{(80 + 45 + 24)/120} = 2^{149/120}\).

2) Limite :

On reconnaît la dérivée en 0 de \(u(x) = \sqrt[3]{x+8}\).

\(u'(x) = \dfrac{1}{3}(x+8)^{-2/3}\). Donc \(u'(0) = \dfrac{1}{3} \cdot 8^{-2/3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}\).

Donc \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+8} - 2}{x} = \dfrac{1}{12}\).

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Exercice 5 : Dichotomie

Donner un encadrement d'amplitude 0,25 de la solution de \(x^3 + x - 1 = 0\) dans \([0;1]\).

Solution

Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\). \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0;1]\).

\(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\). Donc il existe une unique solution \(\alpha \in ]0;1[\).

\(f(0,5) = 0,125 + 0,5 - 1 = -0,375 < 0\). Donc \(\alpha \in ]0,5; 1[\).

\(f(0,75) = 0,421875 + 0,75 - 1 = 0,171875 > 0\). Donc \(\alpha \in ]0,5; 0,75[\).

Un encadrement d'amplitude 0,25 est : \(0,5 < \alpha < 0,75\).