Fonction exponentielle : résumé

Objectifs

• Comprendre la définition de la fonction exponentielle.
• Étudier les propriétés de cette fonction.
• Savoir calculer les limites et dérivées des fonctions exponentielles.

Pré-requis

• Connaissance des fonctions de base.
• Notions de limites et de dérivées.
• Utilisation de la notation exponentielle.

Définition

La fonction exponentielle est définie par \(f(x) = e^x\) où \(e\) est la base des logarithmes naturels, environ égale à 2,718. Cette fonction est définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et possède des propriétés particulières en termes de croissance, de dérivabilité et de limites.

Propriétés

• La fonction \(f(x) = e^x\) est toujours positive: pour tout \(x \in \mathbb{R}, e^x > 0\).
• La fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée est \(f'(x) = e^x\).
• La fonction est croissante: pour tout \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) < f(x_2)\).
• La limite lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) est 0: \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\).
• La limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) est infinie: \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\).

Méthode

1. Pour étudier la fonction, commencez par déterminer sa dérivée pour étudier les variations.
2. Calculez les limites pour voir le comportement aux extrêmes.
3. Représentez graphiquement la fonction pour visualiser ses propriétés.
4. Résolvez des équations différentielles si nécessaire pour des applications concrètes.

Exemples corrigés

Exemple 1

Soit la fonction \(f(x) = e^x\).

1. Calculons la dérivée: \(f'(x) = e^x\).
2. Étudions les limites: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
3. Par conséquent, la fonction est croissante et toujours positive.

Exemple 2

Étudions la fonction \(g(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}\).

1. La dérivée est: \(g'(x) = \frac{e^x(1 + e^x) - e^x e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}\).
2. Les limites: \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1\).
3. La fonction est croissante et osc