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Fonction logarithme népérienne - pc & svt

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Fonction logarithme népérienne - pc & svt

Module : Analyse • Niveau : lycee • Leçon #30
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Objectifs

  • Maîtriser la fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques, limites et dérivée.
  • Savoir utiliser les fonctions logarithmes de base \(a\) (\(\log_a\)).
  • Résoudre des équations et inéquations avec logarithmes.
  • Calculer des limites et des dérivées de fonctions composées avec logarithmes.

I. Fonction logarithme népérien

1. Définition

Définition : La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est l'unique primitive s'annulant en 1 de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). \[ \begin{cases} D_{\ln} = ]0; +\infty[ \\ (\ln)'(x) = \frac{1}{x} \\ \ln(1) = 0 \end{cases} \]

2. Propriétés fondamentales

  • \(\ln(1) = 0\)
  • La fonction \(\ln\) est continue et dérivable sur \(]0; +\infty[\).
  • La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0; +\infty[\).
  • Pour tous \(x, y > 0\) : \(\ln x = \ln y \iff x = y\)
  • Pour tous \(x, y > 0\) : \(\ln x > \ln y \iff x > y\)
Conséquences :
  • \(\ln x = 0 \iff x = 1\)
  • \(\ln x > 0 \iff x > 1\)
  • \(\ln x < 0 \iff 0 < x < 1\)

3. Propriété fondamentale (relation fonctionnelle)

Propriété : Pour tous \(a, b > 0\) : \[ \ln(ab) = \ln a + \ln b. \]
Preuve : Soit \(F(x) = \ln(ax)\) avec \(a > 0\).
\(F'(x) = \frac{1}{x}\) sur \(]0; +\infty[\), donc \(F\) et \(\ln\) sont deux primitives de \(x \mapsto \frac{1}{x}\).
Il existe donc une constante \(k\) telle que \(F(x) = \ln x + k\).
En \(x = 1\), \(F(1) = \ln a = \ln 1 + k = k\). Donc \(k = \ln a\).
Ainsi \(\ln(ax) = \ln a + \ln x\). En prenant \(x = b\), on obtient \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\).

Conséquences

  • \(\ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x\) pour tout \(x > 0\).
  • \(\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y\) pour tous \(x, y > 0\).
  • \(\ln(x_1 x_2 \cdots x_n) = \ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n\).
  • \(\ln(x^r) = r \ln x\) pour tout \(x > 0\) et \(r \in \mathbb{Q}\).
  • En particulier : \(\ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2}\ln x\).

4. Limites fondamentales

\[ \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty. \]
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \[ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0, \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1. \]

5. Dérivée de la fonction logarithme

Si \(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(u(x) \neq 0\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ \forall x \in I, \quad \left( \ln |u(x)| \right)' = \frac{u'(x)}{u(x)}. \]
Dérivée logarithmique : La fonction \(\frac{u'}{u}\) est appelée la dérivée logarithmique de \(u\).

6. Primitives

Les primitives de la fonction \(x \mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}\) sur un intervalle \(I\) où \(u\) ne s'annule pas sont : \[ x \mapsto \ln |u(x)| + C, \quad C \in \mathbb{R}. \]

II. Fonction logarithme de base \(a\)

1. Définition

Pour \(a > 0\), \(a \neq 1\), la fonction logarithme de base \(a\), notée \(\log_a\), est définie sur \(]0; +\infty[\) par : \[ \log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a}. \]
  • Le logarithme népérien est le logarithme de base \(e\) : \(\log_e(x) = \ln x\).
  • \(\log_a(a) = 1\) et \(\log_a(a^r) = r\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\).

2. Propriétés

Pour tous \(x, y > 0\) et \(r \in \mathbb{Q}\) : \[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \quad \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, \] \[ \log_a(x^r) = r \log_a x. \]

3. Dérivée et variations

\[ \forall x > 0, \quad (\log_a)'(x) = \frac{1}{x \ln a}. \]
  • Si \(a > 1\), alors \(\log_a\) est strictement croissante sur \(]0; +\infty[\).
  • Si \(0 < a < 1\), alors \(\log_a\) est strictement décroissante sur \(]0; +\infty[\).
Si \(a > 1\) : \[ \lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty. \] Si \(0 < a < 1\) : \[ \lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty. \]

4. Logarithme décimal

Le logarithme décimal, noté \(\log\), est le logarithme de base 10 : \[ \forall x > 0, \quad \log(x) = \log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}. \]
On a \(\log(10^m) = m\) pour tout \(m \in \mathbb{Z}\).

III. Exercices corrigés

Exercice 1 : Ensemble de définition

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \ln(x-1) + \ln(4-x)\)
  2. \(g(x) = \ln(x^2 - 3x)\)

Solutions

1) \(f(x) = \ln(x-1) + \ln(4-x)\)

Domaine : \(x-1 > 0\) et \(4-x > 0 \iff x > 1\) et \(x < 4\).

Donc \(D_f = ]1; 4[\).

2) \(g(x) = \ln(x^2 - 3x)\)

Domaine : \(x^2 - 3x > 0 \iff x(x-3) > 0 \iff x < 0\) ou \(x > 3\).

Donc \(D_g = ]-\infty; 0[ \cup ]3; +\infty[\).

Exercice 2 : Équations logarithmiques

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

  1. \(\ln(x^2 + 2x) = 0\)
  2. \(\ln(x^2 - 3) = \ln(2x)\)

Solutions

1) \(\ln(x^2 + 2x) = 0\)

Domaine : \(x^2 + 2x > 0 \iff x(x+2) > 0 \iff x < -2\) ou \(x > 0\).

\(\ln(x^2 + 2x) = 0 \iff x^2 + 2x = 1 \iff x^2 + 2x - 1 = 0\).

\(\Delta = 4 + 4 = 8\), donc \(x = -1 \pm \sqrt{2}\).

\(-1 + \sqrt{2} > 0\) et \(-1 - \sqrt{2} < -2\), donc les deux solutions sont dans le domaine.

\(S = \{-1 - \sqrt{2}, -1 + \sqrt{2}\}\).

2) \(\ln(x^2 - 3) = \ln(2x)\)

Domaine : \(x^2 - 3 > 0\) et \(2x > 0 \iff x > \sqrt{3}\) (car \(x > 0\)).

\(\ln(x^2 - 3) = \ln(2x) \iff x^2 - 3 = 2x \iff x^2 - 2x - 3 = 0\).

\(\Delta = 4 + 12 = 16\), donc \(x = 3\) ou \(x = -1\).

Seule \(x = 3\) est dans le domaine. \(S = \{3\}\).

Exercice 3 : Inéquations logarithmiques

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

  1. \(\ln(x^2 - 2x) \leq \ln(x)\)
  2. \(\ln(x^2 - x - 2) < 0\)

Solutions

1) \(\ln(x^2 - 2x) \leq \ln(x)\)

Domaine : \(x^2 - 2x > 0\) et \(x > 0 \iff x < 0\) ou \(x > 2\), et \(x > 0\). Donc \(x > 2\).

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc :

\(\ln(x^2 - 2x) \leq \ln(x) \iff x^2 - 2x \leq x \iff x^2 - 3x \leq 0 \iff x(x-3) \leq 0\).

\(x \in [0; 3]\). Avec le domaine \(x > 2\), on obtient \(S = ]2; 3]\).

2) \(\ln(x^2 - x - 2) < 0\)

Domaine : \(x^2 - x - 2 > 0 \iff (x-2)(x+1) > 0 \iff x < -1\) ou \(x > 2\).

\(\ln(u) < 0 \iff 0 < u < 1\). Donc \(0 < x^2 - x - 2 < 1\).

\(x^2 - x - 2 < 1 \iff x^2 - x - 3 < 0\).

Les racines de \(x^2 - x - 3 = 0\) sont \(x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\).

\(x^2 - x - 2 > 0\) donne \(x < -1\) ou \(x > 2\).

L'intersection donne \(S = \left]\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; -1\right[ \cup \left]2; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right[\).

Exercice 4 : Calcul de limites

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - \ln x)\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \ln\left(\frac{x-2}{x}\right)\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} x \ln(x^2 - x)\)

Solutions

1) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - \ln x)\)

\(x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)\).

Comme \(\frac{\ln x}{x} \to 0\), on a \(x - \ln x \to +\infty\).

2) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \ln\left(\frac{x-2}{x}\right)\)

\(\frac{x-2}{x} = 1 - \frac{2}{x}\).

\(x \ln\left(1 - \frac{2}{x}\right) = -2 \cdot \frac{\ln\left(1 - \frac{2}{x}\right)}{-\frac{2}{x}}\).

On pose \(t = -\frac{2}{x}\), alors \(t \to 0^-\).

La limite est \(-2\).

3) \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} x \ln(x^2 - x)\)

Quand \(x \to 0^-\), \(x^2 - x = x(x-1) \sim -x \to 0^+\).

\(\ln(x^2 - x) \sim \ln(-x)\).

\(x \ln(x^2 - x) \sim x \ln(-x) \to 0\) car \(x \ln(-x) \to 0\) en \(0^-\).

Exercice 5 : Dérivées

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \ln(x^2 + 2x)\)
  2. \(f(x) = \ln|x^2 - 4|\)
  3. \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\)

Solutions

1) \(f(x) = \ln(x^2 + 2x)\)

Domaine : \(x^2 + 2x > 0 \iff x < -2\) ou \(x > 0\).

\(f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}\).

2) \(f(x) = \ln|x^2 - 4|\)

Domaine : \(x \neq \pm 2\).

\(f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 4}\).

3) \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\)

Domaine : \(x^3 + 1 > 0 \iff x > -1\).

\(f'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1}\).

Exercice 6 : Logarithme de base \(a\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(\log(x-1) + \log(x+3) = 2\).

Solution

Domaine : \(x-1 > 0\) et \(x+3 > 0 \iff x > 1\).

\(\log((x-1)(x+3)) = 2 \iff (x-1)(x+3) = 10^2 = 100\).

\(x^2 + 2x - 3 = 100 \iff x^2 + 2x - 103 = 0\).

\(\Delta = 4 + 412 = 416\).

\(x = -1 \pm \sqrt{104} = -1 \pm 2\sqrt{26}\).

Seule \(x = -1 + 2\sqrt{26} > 1\) est valable.

\(S = \{-1 + 2\sqrt{26}\}\).

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