Généralités sur les fonctions numériques — 1BAC science ex
Parcours interactif premium avec cours, exemples, exercices, corrections et mode examen sur les fonctions numériques dédier aux élèves de 1bac scince expérimentale et sciences économéqiues.
mohamed Lagzouli
Créateur de ce parcours interactif.
Accueil du parcours
Explorer les fonctions homographiques et leurs asymptotes
Faites varier a, b et c dans f(x)=(ax+b)/(x+c), puis observez la valeur interdite, les asymptotes et le cas particulier d’un trou.
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📘 Généralités sur les fonctions numériques
1ère Bac Sciences Expérimentales · Chapitre d'analyse
Bienvenue dans ce parcours consacré aux fonctions numériques — la notion centrale de toute l'analyse mathématique au lycée. Une fonction, c'est simplement une règle qui associe à chaque nombre un autre nombre : la température en fonction de l'heure, la distance parcourue en fonction du temps, le prix en fonction de la quantité achetée. Tout ce que vous étudierez en mathématiques jusqu'au Bac — dérivées, limites, primitives — repose sur les notions construites ici.
🎯 Ce que vous allez apprendre
- Définir une fonction numérique et déterminer son ensemble de définition
- Lire et exploiter une courbe représentative
- Reconnaître une fonction paire ou impaire, et utiliser la symétrie de sa courbe
- Étudier la monotonie d'une fonction (croissance, décroissance)
- Identifier les extremums (maximum, minimum) à partir d'un tableau de variations
- Connaître les fonctions de référence et leurs propriétés
🗺️ Plan du parcours
| Partie | Contenu | Accès |
|---|---|---|
| 📖 Cours essentiel | Définitions, domaine, parité, monotonie, extremums, fonctions de référence | Premium |
| ✏️ Exemples guidés | 4 exemples résolus pas à pas | Premium |
| 🧩 Exercices interactifs | Série d'exercices progressifs avec corrections dépliables | Premium |
| 🛡️ Mode examen | Épreuve chronométrée type Bac | Premium |
Étudier les limites, la continuité et les asymptotes
Analysez une fonction homographique en distinguant limites exactes, continuité sur le domaine, asymptotes et trou éventuel.
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Explorer la dérivabilité, la sécante et la tangente
Choisissez une famille affine, quadratique ou cubique, puis faites varier ses coefficients, le point x₀ et l’écart h afin d’observer le taux d’accroissement et le passage de la sécante à la tangente.
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Explorer la famille des fonctions quadratiques
Faites varier a, b et c, puis observez le sommet, l’axe de symétrie, le discriminant et les intersections de f(x)=ax²+bx+c.
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Étudier la dérivée, les variations, les extrema et la convexité
Choisissez une famille affine, quadratique ou cubique, puis observez la courbe, le signe de la dérivée, les extrema et la convexité.
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Analyse scientifique unifiée d’une fonction
Choisissez une famille de fonction, puis activez uniquement les analyses utiles à votre leçon.
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Explorer une famille de polynômes cubiques
Faites varier a, b, c et d dans f(x)=ax³+bx²+cx+d, puis observez le degré effectif, l’ordonnée à l’origine et les zéros visibles.
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Cours essentiel
Étudier la dérivée, les variations, les extrema et la convexité
Choisissez une famille affine, quadratique ou cubique, puis observez la courbe, le signe de la dérivée, les extrema et la convexité.
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📖 Cours essentiel
1. Définition d'une fonction numérique
On note : $f : D \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)$
Si $y = f(x)$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$. Un réel peut avoir plusieurs antécédents, mais un antécédent ne peut avoir qu'une seule image.
2. Ensemble de définition
- Un dénominateur ne doit jamais être nul
- Une expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle
- Ces deux conditions se combinent souvent dans un même exercice
3. Représentation graphique
Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est l'ensemble des points $M(x, f(x))$ pour tout $x \in D_f$.
4. Parité d'une fonction
→ sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.
→ sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.
| Fonction | Parité | Justification |
|---|---|---|
| $f(x) = x^2$ | Paire | $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ |
| $f(x) = x^3$ | Impaire | $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ |
| $f(x) = x + 1$ | Ni paire ni impaire | $f(-x) = -x+1 \neq f(x)$ et $\neq -f(x)$ |
5. Monotonie d'une fonction
6. Tableau de variations et extremums
Le tableau de variations résume, à l'aide de flèches, les intervalles où $f$ croît ou décroît.
$f$ admet un minimum en $x_0$ sur $I$ si $f(x_0) \leq f(x)$ pour tout $x \in I$.
🎬 Vidéo explicative
7. Fonctions de référence
| Fonction | Expression | Domaine | Variations |
|---|---|---|---|
| Affine | $f(x) = ax + b$ | $\mathbb{R}$ | Croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$ |
| Carré | $f(x) = x^2$ | $\mathbb{R}$ | Décroissante sur $]-\infty,0]$, croissante sur $[0,+\infty[$ |
| Cube | $f(x) = x^3$ | $\mathbb{R}$ | Croissante sur $\mathbb{R}$ |
| Racine carrée | $f(x) = \sqrt{x}$ | $[0,+\infty[$ | Croissante |
| Inverse | $f(x) = \dfrac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*$ | Décroissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$ |
Exemples guidés
✏️ Exemples guidés
Résolution :
1) Condition pour la racine : $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$
2) Condition pour le dénominateur : $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
3) On combine les deux conditions : $x \geq -3$ et $x \neq 1$
Conclusion : $D_f = [-3, 1[ \cup ]1, +\infty[$
Résolution :
1) $D_f = \mathbb{R}$ est bien symétrique par rapport à 0.
2) Calculons $f(-x)$ :
Résolution : Soient $a, b \in [0,+\infty[$ tels que $a < b$. Calculons :
Donc $f(a) - f(b) = (a-b)(a+b) < 0$, c'est-à-dire $f(a) < f(b)$.
Conclusion : $f$ est bien croissante sur $[0, +\infty[$.
Questions et réponses :
• Sur quel intervalle $g$ est-elle décroissante ? → Sur $[-2, 1]$ (la fonction descend vers son minimum)
• Sur quel intervalle $g$ est-elle croissante ? → Sur $[1, 4]$ (elle remonte après le minimum)
• Quel est le minimum de $g$ sur $[-2,4]$ ? → $g(1) = -3$
• Quel est le maximum de $g$ sur $[-2,4]$ ? → $g(4) = 5$ (la plus grande valeur atteinte)
🧮 Nouvelle définition
Écrire ici le contenu pédagogique du bloc parfaitement.
Explorer la famille des fonctions quadratiques
Faites varier a, b et c, puis observez le sommet, l’axe de symétrie, le discriminant et les intersections de f(x)=ax²+bx+c.
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Exercices interactifs
🧩 Exercices interactifs
Cliquez sur "Voir la correction" après avoir cherché — pas avant !
Déterminer l'ensemble de définition de $f(x) = \sqrt{5 - 2x}$.
✅ Voir la correction
Donc $D_f = \left]-\infty, \dfrac{5}{2}\right]$.
Étudier la parité de $h(x) = x^3 - 4x$ sur $\mathbb{R}$.
✅ Voir la correction
$h(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -h(x)$
Donc $h$ est impaire — sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.
Montrer que $f(x) = -2x + 3$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
✅ Voir la correction
$f(a) - f(b) = (-2a+3) - (-2b+3) = -2a + 2b = -2(a-b)$
Comme $a < b$, on a $a - b < 0$, donc $-2(a-b) > 0$, c'est-à-dire $f(a) > f(b)$.
Donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ (cohérent avec $a = -2 < 0$).
Soit $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$.
a) Déterminer $D_f$.
b) Calculer $f(0)$ et $f(5)$.
c) Résoudre $f(x) = 0$.
✅ Voir la correction
b) $f(0) = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}$ ; $\quad f(5) = \dfrac{11}{2}$
c) $f(x) = 0 \Leftrightarrow 2x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2}$ (valeur bien dans $D_f$)
Soit $g(x) = |x| - 2$. Étudier la parité de $g$, puis dresser son tableau de variations sur $[-4, 4]$.
✅ Voir la correction
Variations : $g$ est décroissante sur $[-4, 0]$ (de $g(-4)=2$ à $g(0)=-2$), puis croissante sur $[0, 4]$ (de $g(0)=-2$ à $g(4)=2$).
Minimum : $g(0) = -2$. Maximum sur $[-4,4]$ : $g(-4)=g(4)=2$.
Mode examen
Sujet chronométré, réponses cachées, barème et correction finale.
🛡️ Évaluation — Généralités sur les fonctions numériques
a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = (x-2)^2 - 3$. (2 pts)
b) En déduire que $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$, et préciser sa valeur. (2 pts)
c) Montrer que $f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$. (2 pts)
a) Dresser les intervalles de croissance et de décroissance de $h$. (3 pts)
b) Donner le maximum et le minimum de $h$ sur $[-3,5]$, avec les valeurs de $x$ correspondantes. (3 pts)
🔒 Corrigé complet (à consulter après le devoir)
Exercice 2 : $D_g=\mathbb{R}$ symétrique. $g(-x)=\dfrac{3(-x)^2}{(-x)^2+2}=\dfrac{3x^2}{x^2+2}=g(x)$ → $g$ paire.
Exercice 3 :
a) $(x-2)^2-3 = x^2-4x+4-3 = x^2-4x+1 = f(x)$ ✓
b) Comme $(x-2)^2 \geq 0$, on a $f(x) \geq -3$, avec égalité en $x=2$. Minimum : $f(2)=-3$.
c) Soient $a
Exercice 4 :
a) $h$ décroissante sur $[-3,-1]$, croissante sur $[-1,3]$, décroissante sur $[3,5]$.
b) Maximum : $h(3)=4$. Minimum : $h(-1)=-1$.
Correction type examen.
Mode examen
🛡️ Évaluation — Généralités sur les fonctions numériques
a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = (x-2)^2 - 3$. (2 pts)
b) En déduire que $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$, et préciser sa valeur. (2 pts)
c) Montrer que $f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$. (2 pts)
a) Dresser les intervalles de croissance et de décroissance de $h$. (3 pts)
b) Donner le maximum et le minimum de $h$ sur $[-3,5]$, avec les valeurs de $x$ correspondantes. (3 pts)
🔒 Corrigé complet (à consulter après le devoir)
Exercice 2 : $D_g=\mathbb{R}$ symétrique. $g(-x)=\dfrac{3(-x)^2}{(-x)^2+2}=\dfrac{3x^2}{x^2+2}=g(x)$ → $g$ paire.
Exercice 3 :
a) $(x-2)^2-3 = x^2-4x+4-3 = x^2-4x+1 = f(x)$ ✓
b) Comme $(x-2)^2 \geq 0$, on a $f(x) \geq -3$, avec égalité en $x=2$. Minimum : $f(2)=-3$.
c) Soient $a
Exercice 4 :
a) $h$ décroissante sur $[-3,-1]$, croissante sur $[-1,3]$, décroissante sur $[3,5]$.
b) Maximum : $h(3)=4$. Minimum : $h(-1)=-1$.